典例5 新素养 几何直观 数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础。如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1。若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E表示的数为。
【思路点拨】因为正方形ABCD的面积为5，所以$AD=\sqrt{5}$。又AD=AE，所以$AE=\sqrt{5}$。又点A表示的数为1，点E在点A的左侧，所以点E表示的数为$1−\sqrt{5}$。
【答案$】1−\sqrt{5}$
上分大招▶数轴上的点与实数的关系是一一对应，即每一个实数，都能在数轴上找到唯一的一个点表示它；数轴上每一个点，都对应唯一的一个实数。
【思路点拨】因为正方形ABCD的面积为5，所以$AD=\sqrt{5}$。又AD=AE，所以$AE=\sqrt{5}$。又点A表示的数为1，点E在点A的左侧，所以点E表示的数为$1−\sqrt{5}$。
【答案$】1−\sqrt{5}$
上分大招▶数轴上的点与实数的关系是一一对应，即每一个实数，都能在数轴上找到唯一的一个点表示它；数轴上每一个点，都对应唯一的一个实数。
答案：$\boldsymbol{1-\sqrt{5}}$
解析：
解：
∵ 正方形ABCD的面积为5，
∴ 正方形的边长 $AD=\sqrt{5}$。
又∵ $AD=AE$，
∴ $AE=\sqrt{5}$。
∵ 点A表示的数为1，点E在点A的左侧，
∴ 点E表示的数为 $1-\sqrt{5}$。
最终
∵ 正方形ABCD的面积为5，
∴ 正方形的边长 $AD=\sqrt{5}$。
又∵ $AD=AE$，
∴ $AE=\sqrt{5}$。
∵ 点A表示的数为1，点E在点A的左侧，
∴ 点E表示的数为 $1-\sqrt{5}$。
最终
7. 已知面积为S的正方形ABCD的顶点A在数轴上，点A表示的数为1. 如图是点E在数轴上的位置，且点A到B，E两点的距离相等，则S的值可能为 （
A.2
B.4
C.8
D.10
C
）A.2
B.4
C.8
D.10
答案：C 解析: 由题图，得$3＜OE＜4$，$OA=1$，所以$2＜AE＜3$。因为$AB=AE$，所以$2＜AB＜3$。因为$S=AB^2$，所以$4＜S＜9$，即$S$的值可能为8。
典例⑥ 比较大小：$\sqrt{11}$ $3$，$-\sqrt{5}$ $-2$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ $\frac{3}{2}$.（填“＞”“＜”或“=”）
【思路点拨】因为$\sqrt{11}＞\sqrt{9}$，所以$\sqrt{11}＞3$.因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}$，所以$-\sqrt{5}＜-\sqrt{4}$，即$-\sqrt{5}＜-2$.因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{5}+1＞3$，即$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}$.
【答案】＞ ＜ ＞
【思路点拨】因为$\sqrt{11}＞\sqrt{9}$，所以$\sqrt{11}＞3$.因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}$，所以$-\sqrt{5}＜-\sqrt{4}$，即$-\sqrt{5}＜-2$.因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{5}+1＞3$，即$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}$.
【答案】＞ ＜ ＞
答案：解：
∵ $11＞9$，
∴ $\sqrt{11}＞\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{11}＞3$；
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
∴ $-\sqrt{5}＜-2$；
∵ $\sqrt{5}＞2$，
∴ $\sqrt{5}+1＞3$，
∴ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＞}$。
∵ $11＞9$，
∴ $\sqrt{11}＞\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{11}＞3$；
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
∴ $-\sqrt{5}＜-2$；
∵ $\sqrt{5}＞2$，
∴ $\sqrt{5}+1＞3$，
∴ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＞}$。