典例②【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线$ l $上的所有点的横坐标均为$ a $，则直线$ l $称为直线$ x=a $.如图，直线$ l $上点的横坐标均为$ 3 $，记为直线$ x=3 $.探索关于直线$ x=3 $对称的点的坐标规律如下：
(1)【特例感知】根据以上图表，得点$ D(-2,-1) $关于直线$ x=3 $对称的点$ D' $的坐标为；
(2)【规律应用】结合以上规律解答下列问题：
① 点$ E(1,-2) $关于直线$ x=2 $对称的点$ E' $的坐标为，
② 若点$ F(1,3) $关于直线$ x=b $对称的点$ F' $的坐标为$ (7,3) $，则$ b $的值为；
(3)【深入拓展】若点$ P(m,n) $与点$ Q $关于直线$ x=c $对称，求点$ Q $的坐标（用含有$ m,n,c $的代数式表示）.
母题分析▶(1)本题是具体数的实例，直接套用规律填空；(2)已知对称轴求对称点、已知对称点求对称轴，都需要依据表格中探索得到的规律“纵坐标不变，横坐标之和等于对称轴横坐标的2倍”进行解答；(3)从具体上升到字母一般化，以逆向应用，加深对规律的认识，并归纳通用公式.
【答案】(1)$ (8,-1) $ 解析:由题意,得关于直线$ x=3 $对称的点的纵坐标相同,横坐标之和为$ 2×3=6 $,所以点$ D(-2,-1) $关于直线$ x=3 $对称的点$ D' $的坐标为$ (8,-1) $.
(2)①$ (3,-2) $ 解析:点$ E(1,-2) $关于直线$ x=2 $对称的点$ E' $的坐标为$ (2×2-1,-2) $,即$ (3,-2) $.
②$ 4 $ 解析:因为点$ F(1,3) $关于直线$ x=b $对称的点$ F' $的坐标为$ (7,3) $,所以$ 1+7=2b $,解得$ b=4 $.则$ b $的值为$ 4 $.
(3)因为关于直线$ x=c $对称的点的纵坐标相同,横坐标之和为$ 2c $,且点$ P(m,n) $与点$ Q $关于直线$ x=c $对称,所以点$ Q $的坐标为$ (2c-m,n) $.
(1)【特例感知】根据以上图表，得点$ D(-2,-1) $关于直线$ x=3 $对称的点$ D' $的坐标为；
(2)【规律应用】结合以上规律解答下列问题：
① 点$ E(1,-2) $关于直线$ x=2 $对称的点$ E' $的坐标为，
② 若点$ F(1,3) $关于直线$ x=b $对称的点$ F' $的坐标为$ (7,3) $，则$ b $的值为；
(3)【深入拓展】若点$ P(m,n) $与点$ Q $关于直线$ x=c $对称，求点$ Q $的坐标（用含有$ m,n,c $的代数式表示）.
母题分析▶(1)本题是具体数的实例，直接套用规律填空；(2)已知对称轴求对称点、已知对称点求对称轴，都需要依据表格中探索得到的规律“纵坐标不变，横坐标之和等于对称轴横坐标的2倍”进行解答；(3)从具体上升到字母一般化，以逆向应用，加深对规律的认识，并归纳通用公式.
【答案】(1)$ (8,-1) $ 解析:由题意,得关于直线$ x=3 $对称的点的纵坐标相同,横坐标之和为$ 2×3=6 $,所以点$ D(-2,-1) $关于直线$ x=3 $对称的点$ D' $的坐标为$ (8,-1) $.
(2)①$ (3,-2) $ 解析:点$ E(1,-2) $关于直线$ x=2 $对称的点$ E' $的坐标为$ (2×2-1,-2) $,即$ (3,-2) $.
②$ 4 $ 解析:因为点$ F(1,3) $关于直线$ x=b $对称的点$ F' $的坐标为$ (7,3) $,所以$ 1+7=2b $,解得$ b=4 $.则$ b $的值为$ 4 $.
(3)因为关于直线$ x=c $对称的点的纵坐标相同,横坐标之和为$ 2c $,且点$ P(m,n) $与点$ Q $关于直线$ x=c $对称,所以点$ Q $的坐标为$ (2c-m,n) $.
答案：解：
(1) 由已知规律，关于直线$x=3$对称的点纵坐标相等，横坐标之和为$2×3=6$。
设点$D'$的横坐标为$x$，则$-2+x=6$，解得$x=8$，纵坐标与点$D$相同为$-1$，
所以点$D'$的坐标为$\boldsymbol{(8,-1)}$。
(2) ① 关于直线$x=2$对称的点纵坐标相等，横坐标之和为$2×2=4$。
设点$E'$的横坐标为$x_1$，则$1+x_1=4$，解得$x_1=3$，纵坐标与点$E$相同为$-2$，
所以点$E'$的坐标为$\boldsymbol{(3,-2)}$。
② 由对称规律可知，点$F$和点$F'$的横坐标之和等于$2b$，
即$1+7=2b$，解得$b=4$，
所以$b$的值为$\boldsymbol{4}$。
(3) 因为点$P(m,n)$与点$Q$关于直线$x=c$对称，所以两点纵坐标相等，横坐标之和等于$2c$。
设点$Q$的横坐标为$x_Q$，则$m+x_Q=2c$，解得$x_Q=2c-m$，点$Q$的纵坐标为$n$，
所以点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(2c-m,n)}$。
(1) 由已知规律，关于直线$x=3$对称的点纵坐标相等，横坐标之和为$2×3=6$。
设点$D'$的横坐标为$x$，则$-2+x=6$，解得$x=8$，纵坐标与点$D$相同为$-1$，
所以点$D'$的坐标为$\boldsymbol{(8,-1)}$。
(2) ① 关于直线$x=2$对称的点纵坐标相等，横坐标之和为$2×2=4$。
设点$E'$的横坐标为$x_1$，则$1+x_1=4$，解得$x_1=3$，纵坐标与点$E$相同为$-2$，
所以点$E'$的坐标为$\boldsymbol{(3,-2)}$。
② 由对称规律可知，点$F$和点$F'$的横坐标之和等于$2b$，
即$1+7=2b$，解得$b=4$，
所以$b$的值为$\boldsymbol{4}$。
(3) 因为点$P(m,n)$与点$Q$关于直线$x=c$对称，所以两点纵坐标相等，横坐标之和等于$2c$。
设点$Q$的横坐标为$x_Q$，则$m+x_Q=2c$，解得$x_Q=2c-m$，点$Q$的纵坐标为$n$，
所以点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(2c-m,n)}$。
2. “转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好地理解问题本质，或将未知问题转化为已知
问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解答下列问题.
【基础强化】
（1）如图①，A，B，C三点的坐标分别为A(1,1)，B(4,3)，C(4,1)，AC平行于x轴，BC平行于y轴，则AC=
【问题解决】
（2）如图②，A，B两点的坐标分别为A(-4,2)，B(2,-1)，连接AB，求AB的长；
【拓展延伸】
（3）如图③，A，B两点的坐标分别为A(-5,1)，B(3,1)，连接AB，P为线段AB上任意一点.若AP=m，BP=n，求$\sqrt{m^2+4}+\sqrt{n^2+16}$的最小值.
问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解答下列问题.
【基础强化】
（1）如图①，A，B，C三点的坐标分别为A(1,1)，B(4,3)，C(4,1)，AC平行于x轴，BC平行于y轴，则AC=
$3$
，AB=$\sqrt{13}$
；【问题解决】
（2）如图②，A，B两点的坐标分别为A(-4,2)，B(2,-1)，连接AB，求AB的长；
【拓展延伸】
（3）如图③，A，B两点的坐标分别为A(-5,1)，B(3,1)，连接AB，P为线段AB上任意一点.若AP=m，BP=n，求$\sqrt{m^2+4}+\sqrt{n^2+16}$的最小值.
答案：
2. (1) $3$ $\sqrt{13}$
(2) 如图①, 过点 $A$ 作 $AC / / y$ 轴, 过点 $B$ 作 $BC / / x$轴交 $AC$ 于点 $C$. 因为 $A(-4,2), B(2,-1)$, 所以$C(-4,-1)$. 所以 $AC=2-(-1)=3, BC=2-$$(-4)=6$. 所以 $A B=\sqrt{A C^2+B C^2}=\sqrt{45}$.
(3) 如图②, 过点 $A$ 在 $AB$ 下方作 $CA ⊥ AB$, 且 $CA=$2. 因为 $A(-5,1)$, 所以 $C(-5,-1)$. 过点 $B$ 在 $AB$上方作 $DB ⊥ AB$, 且 $DB=4$. 因为 $B(3,1)$, 所以 $D(3$,$5)$. 过点 $C$ 作 $CE ⊥ DB$, 交 $DB$ 的延长线于点 $E$, 则$E(3,-1), DE=4+2=6$, 连接 $PC, PD, CD$, 所以$BE=2, CE=8$. 因为 $AP=m, BP=n$, 所以 $PC=$$\sqrt{A C^2+A P^2}=\sqrt{m^2+4}, P D=\sqrt{B P^2+B D^2}=$$\sqrt{n^2+16}$. 所以 $\sqrt{m^2+4}+\sqrt{n^2+16}=P C+P D$. 因为 $P C+P D ≥ C D$, 所以当 $P, C, D$ 三点共线时,$P C+P D$ 取最小值, 且最小值为 $C D$ 的长. 因为$C D=\sqrt{D E^2+C E^2}=10$, 所以 $P C+P D$ 的最小值为 10, 即 $\sqrt{m^2+4}+\sqrt{n^2+16}$ 的最小值为 10.
2. (1) $3$ $\sqrt{13}$
(2) 如图①, 过点 $A$ 作 $AC / / y$ 轴, 过点 $B$ 作 $BC / / x$轴交 $AC$ 于点 $C$. 因为 $A(-4,2), B(2,-1)$, 所以$C(-4,-1)$. 所以 $AC=2-(-1)=3, BC=2-$$(-4)=6$. 所以 $A B=\sqrt{A C^2+B C^2}=\sqrt{45}$.
(3) 如图②, 过点 $A$ 在 $AB$ 下方作 $CA ⊥ AB$, 且 $CA=$2. 因为 $A(-5,1)$, 所以 $C(-5,-1)$. 过点 $B$ 在 $AB$上方作 $DB ⊥ AB$, 且 $DB=4$. 因为 $B(3,1)$, 所以 $D(3$,$5)$. 过点 $C$ 作 $CE ⊥ DB$, 交 $DB$ 的延长线于点 $E$, 则$E(3,-1), DE=4+2=6$, 连接 $PC, PD, CD$, 所以$BE=2, CE=8$. 因为 $AP=m, BP=n$, 所以 $PC=$$\sqrt{A C^2+A P^2}=\sqrt{m^2+4}, P D=\sqrt{B P^2+B D^2}=$$\sqrt{n^2+16}$. 所以 $\sqrt{m^2+4}+\sqrt{n^2+16}=P C+P D$. 因为 $P C+P D ≥ C D$, 所以当 $P, C, D$ 三点共线时,$P C+P D$ 取最小值, 且最小值为 $C D$ 的长. 因为$C D=\sqrt{D E^2+C E^2}=10$, 所以 $P C+P D$ 的最小值为 10, 即 $\sqrt{m^2+4}+\sqrt{n^2+16}$ 的最小值为 10.