2. 新素养 模型观念 已知$y_1$与$x+2$成正比例关系，$y-1$与$y_1$成正比例关系，且当$x=0$时，$y=7$。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式；
(2) 当$y=-1$时，求$x$的值。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式；
(2) 当$y=-1$时，求$x$的值。
答案：(1) 由题意,设$y_1=a(x+2)(a≠0),y-1=by_1(b≠0)$,所以$y=by_1+1=ab(x+2)+1$.又当x=0时,y=7,所以2ab+1=7,解得ab=3.所以y关于x的函数表达式为y=3(x+2)+1=3x+7.
(2) 由(1),得y=3x+7.所以当y=-1时,3x+7=-1,解得$x=-\frac{8}{3}$.则x的值为$-\frac{8}{3}$.
(2) 由(1),得y=3x+7.所以当y=-1时,3x+7=-1,解得$x=-\frac{8}{3}$.则x的值为$-\frac{8}{3}$.
典例③ 已知一次函数 $y=-\dfrac{4}{3}x+4$。
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）求该函数图象与$x$轴、$y$轴的交点$A$，$B$的坐标及$A$，$B$两点之间的距离。
【思路点拨】（1）根据描点法，画出函数图象；（2）由（1），得点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，结合勾股定理求解即可。
【答案】（1）取点$(0,4)$，$(3,0)$，连接即可得到一次函数 $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ 的图象（图略）。
（2）由（1），得点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，所以$OA=3$，$OB=4$。所以$A$，$B$两点之间的距离为$\sqrt{OA^2+OB^2}=5$。
名师大招▶画一次函数 $y=kx+b(k≠0)$的图象最简便的方法是两点法，通常选取直线与两坐标轴的交点，其中与$y$轴的交点坐标为$(0,b)$，与$x$轴的交点坐标为$(-\dfrac{b}{k},0)$。
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）求该函数图象与$x$轴、$y$轴的交点$A$，$B$的坐标及$A$，$B$两点之间的距离。
【思路点拨】（1）根据描点法，画出函数图象；（2）由（1），得点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，结合勾股定理求解即可。
【答案】（1）取点$(0,4)$，$(3,0)$，连接即可得到一次函数 $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ 的图象（图略）。
（2）由（1），得点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，所以$OA=3$，$OB=4$。所以$A$，$B$两点之间的距离为$\sqrt{OA^2+OB^2}=5$。
名师大招▶画一次函数 $y=kx+b(k≠0)$的图象最简便的方法是两点法，通常选取直线与两坐标轴的交点，其中与$y$轴的交点坐标为$(0,b)$，与$x$轴的交点坐标为$(-\dfrac{b}{k},0)$。
答案：解：
（1）对于一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，
令$x=0$，得$y=4$；令$y=0$，即$-\dfrac{4}{3}x+4=0$，解得$x=3$。
在平面直角坐标系中描出点$(0,4)$和点$(3,0)$，过这两点作直线，所得直线即为该一次函数的图象。
（2）∵函数图象与$x$轴交于点$A$，此时$y=0$，解得$x=3$，
∴点$A$的坐标为$(3,0)$。
∵函数图象与$y$轴交于点$B$，此时$x=0$，解得$y=4$，
∴点$B$的坐标为$(0,4)$。
∴$OA=3$，$OB=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
答：点$A$坐标为$(3,0)$，点$B$坐标为$(0,4)$，$A$、$B$两点之间的距离为$5$。
（1）对于一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，
令$x=0$，得$y=4$；令$y=0$，即$-\dfrac{4}{3}x+4=0$，解得$x=3$。
在平面直角坐标系中描出点$(0,4)$和点$(3,0)$，过这两点作直线，所得直线即为该一次函数的图象。
（2）∵函数图象与$x$轴交于点$A$，此时$y=0$，解得$x=3$，
∴点$A$的坐标为$(3,0)$。
∵函数图象与$y$轴交于点$B$，此时$x=0$，解得$y=4$，
∴点$B$的坐标为$(0,4)$。
∴$OA=3$，$OB=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
答：点$A$坐标为$(3,0)$，点$B$坐标为$(0,4)$，$A$、$B$两点之间的距离为$5$。
3. (2026·江苏扬州期末)若直线$y=(k-2)x+1$不经过第四象限，则$k$的取值范围为
4. 已知点$P(a,b)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，则$2a - b -1=$
$k≥2$
.4. 已知点$P(a,b)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，则$2a - b -1=$
$-2$
.答案：3.$k≥2$ 解析:当k-2≠0时,该函数为一次函数.因为直线y=(k-2)x+1不经过第四象限,所以k-2＞0,即k＞2.当k-2=0,即k=2时,此直线为直线y=1,此时该直线经过第一、二象限,与x轴平行.所以k的取值范围为$k≥2$.
4. -2 解析:因为点P(a,b)在一次函数y=2x+1的图象上,所以b=2a+1.所以2a-b=-1,即2a-b-1=-1-1=-2.
4. -2 解析:因为点P(a,b)在一次函数y=2x+1的图象上,所以b=2a+1.所以2a-b=-1,即2a-b-1=-1-1=-2.
典例④ 已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是一次函数$y=(2-m)x+3$图象上两点,且$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$,则$m$的取值范围为.
【思路点拨】因为$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$,所以$x_1-x_2$与$y_1-y_2$的符号相异,即$y$随$x$的增大而减小.所以$2-m＜0$,解得$m＞2$.则$m$的取值范围为$m＞2$.
【答案】$m＞2$
名师大招▶一次函数$y=kx+b(k≠0)$.当$k＞0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$k＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.反之亦然.
【思路点拨】因为$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$,所以$x_1-x_2$与$y_1-y_2$的符号相异,即$y$随$x$的增大而减小.所以$2-m＜0$,解得$m＞2$.则$m$的取值范围为$m＞2$.
【答案】$m＞2$
名师大招▶一次函数$y=kx+b(k≠0)$.当$k＞0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$k＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.反之亦然.
答案：解：
$\because (x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，
$\therefore x_1-x_2$与$y_1-y_2$符号相异，说明该一次函数中$y$随$x$的增大而减小。
由一次函数的性质可知，一次函数$y=kx+b$中，当$y$随$x$的增大而减小时，斜率$k＜0$，
本题中一次函数的斜率$k=2-m$，因此：
$2-m＜0$，
解得$m＞2$。
最终$m$的取值范围为$\boldsymbol{m＞2}$。
$\because (x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，
$\therefore x_1-x_2$与$y_1-y_2$符号相异，说明该一次函数中$y$随$x$的增大而减小。
由一次函数的性质可知，一次函数$y=kx+b$中，当$y$随$x$的增大而减小时，斜率$k＜0$，
本题中一次函数的斜率$k=2-m$，因此：
$2-m＜0$，
解得$m＞2$。
最终$m$的取值范围为$\boldsymbol{m＞2}$。