典例⑦ 某游泳馆推出了A,B两种季度套餐,选择这两种套餐消费时,一个季度的费用$y$(元)与该季度的游泳时长$x$(h)之间的函数关系如图所示.
(1) 分别求出使用这两种套餐消费时,$y_A,y_B$关于$x$的函数表达式;
(2) 请通过计算说明一个季度的游泳时长少于多少时,选择A套餐更省钱;
(3) 小明估计了自己本季度的游泳时长后,选择了B套餐,因为这样可以比选择A套餐游泳平均每小时节省5元,求小明估计的本季度的游泳时长.
【思路点拨】(1) 根据题图中提供的点坐标分别求出$y_A,y_B$关于$x$的函数表达式;(2) 由(1)中求出的函数表达式列不等式求解;(3) 由题意列方程求解.
【答案】(1) 由题图,得$y_A$与$x$呈正比例关系,所以设$y_A$关于$x$的函数表达式为$y_A=k_1x$.又直线$y_A$经过点$(6,180)$,所以$6k_1=180$,解得$k_1=30$.所以$y_A$关于$x$的函数表达式为$y_A=30x$.设$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B=k_2x + b$.又直线$y_B$经过点$(4,180)$和点$(13,360)$,所以$\begin{cases}4k_2 + b = 180, \\13k_2 + b = 360,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=20, \\b=100.\end{cases}$所以$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B=20x + 100$.
(2) 由(1),得$y_A=30x,y_B=20x + 100$.令$y_A ＜ y_B$,则$30x ＜ 20x + 100$,解得$x ＜ 10$.所以一个季度的游泳时长少于10 h时,选择A套餐更省钱.
(3) 由题意,得$30x - (20x + 100)=5x$,解得$x=20$.所以小明估计的本季度的游泳时长为20 h.
【名师大招】“三看”函数图象解题:一看变量,要看清函数图象表达了哪两个变量之间的关系;二看两轴,要看清$x$轴、$y$轴所表达的意义;三看交点,要看清图象与两坐标轴的交点或两图象的交点所表达的意义.
(1) 分别求出使用这两种套餐消费时,$y_A,y_B$关于$x$的函数表达式;
(2) 请通过计算说明一个季度的游泳时长少于多少时,选择A套餐更省钱;
(3) 小明估计了自己本季度的游泳时长后,选择了B套餐,因为这样可以比选择A套餐游泳平均每小时节省5元,求小明估计的本季度的游泳时长.
【思路点拨】(1) 根据题图中提供的点坐标分别求出$y_A,y_B$关于$x$的函数表达式;(2) 由(1)中求出的函数表达式列不等式求解;(3) 由题意列方程求解.
【答案】(1) 由题图,得$y_A$与$x$呈正比例关系,所以设$y_A$关于$x$的函数表达式为$y_A=k_1x$.又直线$y_A$经过点$(6,180)$,所以$6k_1=180$,解得$k_1=30$.所以$y_A$关于$x$的函数表达式为$y_A=30x$.设$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B=k_2x + b$.又直线$y_B$经过点$(4,180)$和点$(13,360)$,所以$\begin{cases}4k_2 + b = 180, \\13k_2 + b = 360,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=20, \\b=100.\end{cases}$所以$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B=20x + 100$.
(2) 由(1),得$y_A=30x,y_B=20x + 100$.令$y_A ＜ y_B$,则$30x ＜ 20x + 100$,解得$x ＜ 10$.所以一个季度的游泳时长少于10 h时,选择A套餐更省钱.
(3) 由题意,得$30x - (20x + 100)=5x$,解得$x=20$.所以小明估计的本季度的游泳时长为20 h.
【名师大招】“三看”函数图象解题:一看变量,要看清函数图象表达了哪两个变量之间的关系;二看两轴,要看清$x$轴、$y$轴所表达的意义;三看交点,要看清图象与两坐标轴的交点或两图象的交点所表达的意义.
答案：解：
(1) 由图可知，$y_A$是关于$x$的正比例函数，设$y_A = k_1 x$（$k_1 ≠ 0$）。
将点$(6, 180)$代入得：$6k_1 = 180$，
解得$k_1 = 30$，
因此$y_A$关于$x$的函数表达式为$y_A = 30x \ (x ≥ 0)$。
设$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B = k_2 x + b$（$k_2 ≠ 0$），
将点$(4, 180)$和$(13, 360)$代入得：
$\begin{cases}4k_2 + b = 180 \\13k_2 + b = 360\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k_2 = 20 \\b = 100\end{cases}$
因此$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B = 20x + 100 \ (x ≥ 0)$。
(2) 令$y_A ＜ y_B$，即$30x ＜ 20x + 100$，
解得$x ＜ 10$。
因此一个季度的游泳时长少于$10\ \mathrm{h}$时，选择A套餐更省钱。
(3) 根据题意可得：
$\frac{y_A}{x} - \frac{y_B}{x} = 5$
代入$y_A=30x$，$y_B=20x+100$，整理得：
$30x - (20x + 100) = 5x$
解得$x = 20$，经检验符合题意。
答：小明估计的本季度的游泳时长为$20\ \mathrm{h}$。
(1) 由图可知，$y_A$是关于$x$的正比例函数，设$y_A = k_1 x$（$k_1 ≠ 0$）。
将点$(6, 180)$代入得：$6k_1 = 180$，
解得$k_1 = 30$，
因此$y_A$关于$x$的函数表达式为$y_A = 30x \ (x ≥ 0)$。
设$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B = k_2 x + b$（$k_2 ≠ 0$），
将点$(4, 180)$和$(13, 360)$代入得：
$\begin{cases}4k_2 + b = 180 \\13k_2 + b = 360\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k_2 = 20 \\b = 100\end{cases}$
因此$y_B$关于$x$的函数表达式为$y_B = 20x + 100 \ (x ≥ 0)$。
(2) 令$y_A ＜ y_B$，即$30x ＜ 20x + 100$，
解得$x ＜ 10$。
因此一个季度的游泳时长少于$10\ \mathrm{h}$时，选择A套餐更省钱。
(3) 根据题意可得：
$\frac{y_A}{x} - \frac{y_B}{x} = 5$
代入$y_A=30x$，$y_B=20x+100$，整理得：
$30x - (20x + 100) = 5x$
解得$x = 20$，经检验符合题意。
答：小明估计的本季度的游泳时长为$20\ \mathrm{h}$。
10. (2026·江苏连云港期末)如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离$y(\mathrm{km})$与甲车行驶的时间$t(\mathrm{h})$之间的函数关系如图所示，有下列结论：
① A，B两城相距$300\ \mathrm{km}$；② 乙车比甲车晚出发$1\ \mathrm{h}$，却早到$1\ \mathrm{h}$；
③ 乙车出发后$1.5\ \mathrm{h}$追上甲车；④ 当乙车追上甲车后，甲、乙两车相距$50\ \mathrm{km}$时，$t=\dfrac{15}{4}$或$\dfrac{25}{6}$.其中，正确的个数为
$\begin{array}{llll}\mathrm{A. }1&\mathrm{B. }2&\mathrm{C. }3&\mathrm{D. }4\end{array}$
① A，B两城相距$300\ \mathrm{km}$；② 乙车比甲车晚出发$1\ \mathrm{h}$，却早到$1\ \mathrm{h}$；
③ 乙车出发后$1.5\ \mathrm{h}$追上甲车；④ 当乙车追上甲车后，甲、乙两车相距$50\ \mathrm{km}$时，$t=\dfrac{15}{4}$或$\dfrac{25}{6}$.其中，正确的个数为
$\begin{array}{llll}\mathrm{A. }1&\mathrm{B. }2&\mathrm{C. }3&\mathrm{D. }4\end{array}$
答案：D 解析:由题图,得A,B两城之间的距离为300 km,甲车行驶的时间为5 h,乙车是在甲车出发1 h后出发的,且用时3 h,即乙车比甲车早到1 h.故①②都正确;设甲车离开A城的距离y关于t的函数表达式为$y_甲=kt$.把(5,300)代入,得300=5k,解得k=60.所以$y_甲=60t$.设乙车离开A城的距离y关于t的函数表达式为$y_乙=mt+n$.把(1,0)和(4,300)分别代入,得$\begin{cases}m+n=0,\\4m+n=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=100,\\n=-100.\end{cases}$所以$y_乙=100t-100$.令$y_甲=y_乙$,得60t=100t-100,解得t=2.5.所以乙车出发后2.5-1=1.5(h)追上甲车.故③正确;当乙车追上甲车后,令$y_乙-y_甲=50$,即100t-100-60t=50,解得$t=\frac{15}{4}$.当乙车到达目的地,甲车继续行驶时,令$y_甲=300-50=250$,即60t=250,解得$t=\frac{25}{6}$.所以当乙车追上甲车后,甲、乙两车相距50 km时,$t=\frac{15}{4}$或$\frac{25}{6}$.故④正确.综上,正确的个数为4.