典例⑧ 如图，一次函数$y=ax+2$与$y=mx+n$图象的交点坐标为$(-2,-4)$.有下列结论：
① $a＞0$，$mn＞0$；② 方程$ax+2=mx+n$的解是$x=-2$；③ $m-a ＜ n-2$；④ 若$mx+n ＜ ax+2 ＜0$，则$-2 ＜ x ＜ -\frac{2}{3}$.其中正确的是.(填序号)
【思路点拨】因为一次函数$y=ax+2$与$y=mx+n$图象的交点为$(-2,-4)$，所以方程$ax+2=mx+n$的解为$x=-2$.故②正确；把$(-2,-4)$分别代入$y=ax+2$与$y=mx+n$中，得$-2a+2=-4$，$-2m+n=-4$，则$a=3$，$n=2m-4$，$m=\frac{4+n}{2}$，$m-n=4-m$.由题图，得$m＞0$，$n＜0$，所以易得$0＜m＜2$，$-4＜n＜0$，$mn＜0$，$2＜m-n＜4$.故①错误；所以$n-1 ＜ m-3 ＜ n+1$，即$m-a ＞ n-1 ＞ n-2$.故③错误.因为$y=ax+2$为$y=3x+2$，所以令$y=0$，得$3x+2=0$，解得$x=-\frac{2}{3}$.由图象，得若$mx+n ＜ ax+2 ＜0$，则$-2 ＜ x ＜ -\frac{2}{3}$.故④正确.综上，正确的是②④.
【答案】②④
名师大招▶当关于$x$的一元一次方程$kx+b=q$的解为$x=p$时，可以理解为点$(p,q)$在一次函数$y=kx+b$的图象上；求关于$x$的一元一次不等式$ax+b＞0$的解集时，就是求直线$y=ax+b$位于$x$轴上方的部分对应的$x$的取值范围；求关于$x$的一元一次不等式$ax+b＜0$的解集时，就是求直线$y=ax+b$位于$x$轴下方的部分对应的$x$的取值范围.
① $a＞0$，$mn＞0$；② 方程$ax+2=mx+n$的解是$x=-2$；③ $m-a ＜ n-2$；④ 若$mx+n ＜ ax+2 ＜0$，则$-2 ＜ x ＜ -\frac{2}{3}$.其中正确的是.(填序号)
【思路点拨】因为一次函数$y=ax+2$与$y=mx+n$图象的交点为$(-2,-4)$，所以方程$ax+2=mx+n$的解为$x=-2$.故②正确；把$(-2,-4)$分别代入$y=ax+2$与$y=mx+n$中，得$-2a+2=-4$，$-2m+n=-4$，则$a=3$，$n=2m-4$，$m=\frac{4+n}{2}$，$m-n=4-m$.由题图，得$m＞0$，$n＜0$，所以易得$0＜m＜2$，$-4＜n＜0$，$mn＜0$，$2＜m-n＜4$.故①错误；所以$n-1 ＜ m-3 ＜ n+1$，即$m-a ＞ n-1 ＞ n-2$.故③错误.因为$y=ax+2$为$y=3x+2$，所以令$y=0$，得$3x+2=0$，解得$x=-\frac{2}{3}$.由图象，得若$mx+n ＜ ax+2 ＜0$，则$-2 ＜ x ＜ -\frac{2}{3}$.故④正确.综上，正确的是②④.
【答案】②④
名师大招▶当关于$x$的一元一次方程$kx+b=q$的解为$x=p$时，可以理解为点$(p,q)$在一次函数$y=kx+b$的图象上；求关于$x$的一元一次不等式$ax+b＞0$的解集时，就是求直线$y=ax+b$位于$x$轴上方的部分对应的$x$的取值范围；求关于$x$的一元一次不等式$ax+b＜0$的解集时，就是求直线$y=ax+b$位于$x$轴下方的部分对应的$x$的取值范围.
答案：解：
① 由图象可知，直线$y=ax+2$从左到右上升，故$a＞0$；直线$y=mx+n$从左到右上升，故$m＞0$，且直线$y=mx+n$与$y$轴交于负半轴，故$n＜0$，因此$mn＜0$，①错误。
② 一次函数$y=ax+2$与$y=mx+n$图象的交点横坐标就是方程$ax+2=mx+n$的解，已知交点横坐标为$-2$，因此方程$ax+2=mx+n$的解是$x=-2$，②正确。
③ 将$(-2,-4)$代入$y=ax+2$，得$-2a+2=-4$，解得$a=3$；
将$(-2,-4)$代入$y=mx+n$，得$-2m+n=-4$，整理得$n=2m-4$。
则$m-a = m-3$，$n-2=2m-6$，
$m-a-(n-2)=m-3-(2m-6)=3-m$，由图象可知$0＜m＜2$，故$3-m＞0$，即$m-a＞n-2$，③错误。
④ 由$a=3$得$y=3x+2$，令$y=0$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
结合图象可得：当$x＞-2$时，$mx+n＜ax+2$；当$x＜-\frac{2}{3}$时，$ax+2＜0$，因此$mx+n＜ax+2＜0$的解集为$-2＜x＜-\frac{2}{3}$，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②④}$。
① 由图象可知，直线$y=ax+2$从左到右上升，故$a＞0$；直线$y=mx+n$从左到右上升，故$m＞0$，且直线$y=mx+n$与$y$轴交于负半轴，故$n＜0$，因此$mn＜0$，①错误。
② 一次函数$y=ax+2$与$y=mx+n$图象的交点横坐标就是方程$ax+2=mx+n$的解，已知交点横坐标为$-2$，因此方程$ax+2=mx+n$的解是$x=-2$，②正确。
③ 将$(-2,-4)$代入$y=ax+2$，得$-2a+2=-4$，解得$a=3$；
将$(-2,-4)$代入$y=mx+n$，得$-2m+n=-4$，整理得$n=2m-4$。
则$m-a = m-3$，$n-2=2m-6$，
$m-a-(n-2)=m-3-(2m-6)=3-m$，由图象可知$0＜m＜2$，故$3-m＞0$，即$m-a＞n-2$，③错误。
④ 由$a=3$得$y=3x+2$，令$y=0$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
结合图象可得：当$x＞-2$时，$mx+n＜ax+2$；当$x＜-\frac{2}{3}$时，$ax+2＜0$，因此$mx+n＜ax+2＜0$的解集为$-2＜x＜-\frac{2}{3}$，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②④}$。
11. 如图为一次函数$y=kx+b$的图象，则关于$x$的不等式$k(x-3)+b＜0$的解集为 （
A.$x＜-4$
B.$x＞-4$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
C
）A.$x＜-4$
B.$x＞-4$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案：C 解析:由题图,得当x＜-1时,kx+b＜0.因为k(x-3)+b＜0,所以x-3＜-1,解得x＜2.则不等式的解集为x＜2.
12. 如图，直线$l_1:y_1=k_1x+b_1$与直线$l_2:y_2=k_2x+b_2$交于点$A(1,2)$。若$y_1＞y_2$，则$x$的取值范围为________。
答案：$x＞1$ 解析:由题图,得当x＞1时,直线$l_1$在直线$l_2$的上方,所以若$y_1＞y_2$,则x＞1.