典例①（2026·江苏盐城期末）如图①，在$△ ABC$中，$AB＞AC$，动点$D$从点$B$出发沿边$BC$向点$C$运动，设点$D$运动的路程为$x$，$A$，$D$两点之间的距离为$y$，表示$y$与$x$之间的函数关系图象如图②所示，则$△ ABD$的面积$S$关于$x$的函数表达式为.
【思路点拨】由题图②，得当$x=0$时，$y=\sqrt{34}$，则$AB=\sqrt{34}$；当$x=9$时，点$D$运动到点$C$，则$BC=9$.如图③，过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，作点$C$关于$AE$的对称点$C'$，连接$AC'$，则$C'E=CE$，$AC'=AC$.因为当$x=1$与$x=9$时，$y$的值相等，所以$BC'=1$，即$CC'=BC-BC'=8$.所以$C'E=\dfrac{1}{2}CC'=4$，即$BE=BC'+C'E=5$.所以$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=3$.因为$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}BD· AE$，$BD=x$，所以$S=\dfrac{1}{2}x×3=\dfrac{3}{2}x(0≤ x≤9)$.
【答案】$S=\dfrac{3}{2}x(0≤ x≤9)$
【要点提示】本题考查了动点函数图象、勾股定理及三角形面积公式，解题的关键是利用$x=0,x=1,x=9$时的关键位置得出所需信息.
【思路点拨】由题图②，得当$x=0$时，$y=\sqrt{34}$，则$AB=\sqrt{34}$；当$x=9$时，点$D$运动到点$C$，则$BC=9$.如图③，过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，作点$C$关于$AE$的对称点$C'$，连接$AC'$，则$C'E=CE$，$AC'=AC$.因为当$x=1$与$x=9$时，$y$的值相等，所以$BC'=1$，即$CC'=BC-BC'=8$.所以$C'E=\dfrac{1}{2}CC'=4$，即$BE=BC'+C'E=5$.所以$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=3$.因为$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}BD· AE$，$BD=x$，所以$S=\dfrac{1}{2}x×3=\dfrac{3}{2}x(0≤ x≤9)$.
【答案】$S=\dfrac{3}{2}x(0≤ x≤9)$
【要点提示】本题考查了动点函数图象、勾股定理及三角形面积公式，解题的关键是利用$x=0,x=1,x=9$时的关键位置得出所需信息.
答案：解：
由题图②得：
当$x=0$时，$y=\sqrt{34}$，故$AB=\sqrt{34}$；
当$x=9$时，点$D$运动到点$C$，故$BC=9$。
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，作点$C$关于$AE$的对称点$C'$，连接$AC'$，
则$C'E=CE$，$AC'=AC$。
由图可知$x=1$和$x=9$时$y$值相等，即$AD=AC$，此时$BD=1$，故$BC'=1$，
因此$CC'=BC-BC'=9-1=8$，
得$C'E=\dfrac{1}{2}CC'=4$，
所以$BE=BC'+C'E=1+4=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=\sqrt{34-25}=3$。
因为$BD=x$，$△ ABD$的面积$S=\dfrac{1}{2}· BD· AE$，
代入得$S=\dfrac{1}{2}× x×3=\dfrac{3}{2}x$，其中自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤9$。
最终函数表达式为$\boldsymbol{S=\dfrac{3}{2}x\ (0≤ x≤9)}$。
由题图②得：
当$x=0$时，$y=\sqrt{34}$，故$AB=\sqrt{34}$；
当$x=9$时，点$D$运动到点$C$，故$BC=9$。
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，作点$C$关于$AE$的对称点$C'$，连接$AC'$，
则$C'E=CE$，$AC'=AC$。
由图可知$x=1$和$x=9$时$y$值相等，即$AD=AC$，此时$BD=1$，故$BC'=1$，
因此$CC'=BC-BC'=9-1=8$，
得$C'E=\dfrac{1}{2}CC'=4$，
所以$BE=BC'+C'E=1+4=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=\sqrt{34-25}=3$。
因为$BD=x$，$△ ABD$的面积$S=\dfrac{1}{2}· BD· AE$，
代入得$S=\dfrac{1}{2}× x×3=\dfrac{3}{2}x$，其中自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤9$。
最终函数表达式为$\boldsymbol{S=\dfrac{3}{2}x\ (0≤ x≤9)}$。
1.（2026·江苏徐州期末）小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，两人离B地的路程 y(m)与行驶时间 x(min)之间的函数图象如图①所示.
（1）A地与B地的距离为
（2）求出点P的坐标，并解释其实际意义；
（3）设两人之间的距离为 s m，在图②中画出 s 关于 x 的函数图象（请标出必要的数据）；
（4）当两人之间的距离小于 3 000 m 时，x 的取值范围是
（1）A地与B地的距离为
3 600
m，小明的速度是120
m/min；（2）求出点P的坐标，并解释其实际意义；
（3）设两人之间的距离为 s m，在图②中画出 s 关于 x 的函数图象（请标出必要的数据）；
（4）当两人之间的距离小于 3 000 m 时，x 的取值范围是
$\frac{10}{3}＜x＜50$
.答案：
(1) 3 600 120
(2) 设OC所在直线的函数表达式为y=kx.把(60,3 600)代入,得3 600=60k,解得k=60.所以OC所在直线的函数表达式为y=60x.设DE所在直线的函数表达式为y=mx+n.把(0,3 600),(30,0)分别代入,得$\begin{cases}n=3\ 600,\\30m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-120,\\n=3\ 600.\end{cases}$所以DE所在直线的函数表达式为y=-120x+3 600.联立方程组$\begin{cases}y=60x,\\y=-120x+3\ 600,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=1\ 200.\end{cases}$所以点P的坐标为(20,1 200),点P的实际意义为出发20 min时,两人在离B地1 200 m处相遇.
(3) 由(2),得OC所在直线的函数表达式为y=60x,DE所在直线的函数表达式为y=-120x+3 600,点P的坐标为(20,1 200).当0≤x≤20时,s=-120x+3 600-60x=-180x+3 600;当20＜x≤30时,s=60x-(-120x+3 600)=180x-3 600;当30＜x≤60时,s=60x.令x=0,得s=3 600;令x=20,得s=0;令x=30,得s=1 800;令x=60,得s=3 600.函数图象如图所示:
(4) $\frac{10}{3}＜x＜50$ 解析:由图,得当两人之间的距离等于3 000 m时,0≤x≤20或30＜x≤60时.当0≤x≤20时,若s=3 000,则-180x+3 600=3 000,解得$x=\frac{10}{3}$;当30＜x≤60时,若s=3 000,则60x=3 000,解得x=50.由图,得当两人之间的距离小于3 000 m时,x的取值范围是$\frac{10}{3}＜x＜50$.
(1) 3 600 120
(2) 设OC所在直线的函数表达式为y=kx.把(60,3 600)代入,得3 600=60k,解得k=60.所以OC所在直线的函数表达式为y=60x.设DE所在直线的函数表达式为y=mx+n.把(0,3 600),(30,0)分别代入,得$\begin{cases}n=3\ 600,\\30m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-120,\\n=3\ 600.\end{cases}$所以DE所在直线的函数表达式为y=-120x+3 600.联立方程组$\begin{cases}y=60x,\\y=-120x+3\ 600,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=1\ 200.\end{cases}$所以点P的坐标为(20,1 200),点P的实际意义为出发20 min时,两人在离B地1 200 m处相遇.
(3) 由(2),得OC所在直线的函数表达式为y=60x,DE所在直线的函数表达式为y=-120x+3 600,点P的坐标为(20,1 200).当0≤x≤20时,s=-120x+3 600-60x=-180x+3 600;当20＜x≤30时,s=60x-(-120x+3 600)=180x-3 600;当30＜x≤60时,s=60x.令x=0,得s=3 600;令x=20,得s=0;令x=30,得s=1 800;令x=60,得s=3 600.函数图象如图所示:
(4) $\frac{10}{3}＜x＜50$ 解析:由图,得当两人之间的距离等于3 000 m时,0≤x≤20或30＜x≤60时.当0≤x≤20时,若s=3 000,则-180x+3 600=3 000,解得$x=\frac{10}{3}$;当30＜x≤60时,若s=3 000,则60x=3 000,解得x=50.由图,得当两人之间的距离小于3 000 m时,x的取值范围是$\frac{10}{3}＜x＜50$.