2. 当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速.
（1）如图①，一束激光从点C出发，射向x轴上的点P，经过反射后射向点M.已知光线的反射满足反射定律（即反射角＝入射角）.若点C(0,2)，点P(1,0)，则直线MP与y轴的交点Q的坐标为
（2）如图②，线段AB是一根激光感应器，其函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+8(1≤x≤10)$，从点C(0,2)射出的激光射向位于x轴上的镜面DE，经过反射后MN恰好覆盖线段AB上的4个整数点（横、纵坐标都为整数的点），则DE的长的最小值为
（1）如图①，一束激光从点C出发，射向x轴上的点P，经过反射后射向点M.已知光线的反射满足反射定律（即反射角＝入射角）.若点C(0,2)，点P(1,0)，则直线MP与y轴的交点Q的坐标为
$(0,-2)$
；（2）如图②，线段AB是一根激光感应器，其函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+8(1≤x≤10)$，从点C(0,2)射出的激光射向位于x轴上的镜面DE，经过反射后MN恰好覆盖线段AB上的4个整数点（横、纵坐标都为整数的点），则DE的长的最小值为
$\frac{20}{9}$
.答案：
(1) (0,-2) 解析:如图,过点C作CC'//x轴交MQ于点C'.因为入射角等于反射角,C(0,2),P(1,0),所以点C和点C'关于直线x=1对称.所以点C'的坐标为(2,2).设直线MP的函数表达式为y=kx+b.把C',P两点的坐标分别代入,得$\begin{cases}2k+b=2,\\k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2.\end{cases}$所以直线MP的函数表达式为y=2x-2.令x=0,得y=-2,所以点Q的坐标为(0,-2).
(2) $\frac{20}{9}$ 解析:因为当1≤x≤10时,直线AB:$y=-\frac{1}{2}x+8$经过的整数点为(2,7),(4,6),(6,5),(8,4),(10,3),所以MN覆盖的4个整数点可能为(2,7),(4,6),(6,5),(8,4)或(4,6),(6,5),(8,4),(10,3).同(1),得点C的反射光线的反向延长线会经过其关于x轴对称的点Q(0,-2).① 当MN覆盖(2,7),(4,6),(6,5),(8,4)四个点且DE的长最小时,点M的坐标为(2,7),点N的坐标为(8,4).设直线MQ的函数表达式为y=mx+n.把M,Q两点的坐标分别代入,得$\begin{cases}2k+b=7,\\b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{9}{2},\\b=-2.\end{cases}$所以直线MQ的函数表达式为$y=\frac{9}{2}x-2$.令y=0,得$\frac{9}{2}x-2=0$,解得$x=\frac{4}{9}$.所以$D(\frac{4}{9},0)$,即$OD=\frac{4}{9}$.同理,得直线NQ的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x-2$.所以$E(\frac{8}{3},0)$,即$OE=\frac{8}{3}$.所以$DE=OE-OD=\frac{20}{9}$;② 当MN覆盖(4,6),(6,5),(8,4),(10,3)四个点且DE的长最小时,同理,得直线MQ的函数表达式为y=2x-2,直线NQ的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-2$.所以D(1,0),E(4,0),即OD=1,OE=4.所以DE=OE-OD=3.因为$\frac{20}{9}＜3$,所以DE的长的最小值为$\frac{20}{9}$.
(1) (0,-2) 解析:如图,过点C作CC'//x轴交MQ于点C'.因为入射角等于反射角,C(0,2),P(1,0),所以点C和点C'关于直线x=1对称.所以点C'的坐标为(2,2).设直线MP的函数表达式为y=kx+b.把C',P两点的坐标分别代入,得$\begin{cases}2k+b=2,\\k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2.\end{cases}$所以直线MP的函数表达式为y=2x-2.令x=0,得y=-2,所以点Q的坐标为(0,-2).
(2) $\frac{20}{9}$ 解析:因为当1≤x≤10时,直线AB:$y=-\frac{1}{2}x+8$经过的整数点为(2,7),(4,6),(6,5),(8,4),(10,3),所以MN覆盖的4个整数点可能为(2,7),(4,6),(6,5),(8,4)或(4,6),(6,5),(8,4),(10,3).同(1),得点C的反射光线的反向延长线会经过其关于x轴对称的点Q(0,-2).① 当MN覆盖(2,7),(4,6),(6,5),(8,4)四个点且DE的长最小时,点M的坐标为(2,7),点N的坐标为(8,4).设直线MQ的函数表达式为y=mx+n.把M,Q两点的坐标分别代入,得$\begin{cases}2k+b=7,\\b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{9}{2},\\b=-2.\end{cases}$所以直线MQ的函数表达式为$y=\frac{9}{2}x-2$.令y=0,得$\frac{9}{2}x-2=0$,解得$x=\frac{4}{9}$.所以$D(\frac{4}{9},0)$,即$OD=\frac{4}{9}$.同理,得直线NQ的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x-2$.所以$E(\frac{8}{3},0)$,即$OE=\frac{8}{3}$.所以$DE=OE-OD=\frac{20}{9}$;② 当MN覆盖(4,6),(6,5),(8,4),(10,3)四个点且DE的长最小时,同理,得直线MQ的函数表达式为y=2x-2,直线NQ的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-2$.所以D(1,0),E(4,0),即OD=1,OE=4.所以DE=OE-OD=3.因为$\frac{20}{9}＜3$,所以DE的长的最小值为$\frac{20}{9}$.
典例(2026·江苏镇江期末)阅读与理解.
【阅读材料】一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条直线,通常也称为直线$y=kx+b$,其中$k$称为直线的斜率,它表示直线关于坐标轴的倾斜程度.特别地,当$k=0$时,直线$y=b$.所以,直线$y=kx+b$可由直线$y=kx(k≠0)$经过平移得到.已知直线上的两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$,如何求出$k$的值呢?将$A,B$两点的坐标分别代入$y=kx+b$中,得$y_1=kx_1+b,y_2=kx_2+b$.把上面两式相减,消去$b$,得到$y_2-y_1=k(x_2-x_1)$,当$x_2≠x_1$时,求得$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.因此,当$x_2≠x_1$时,直线$AB$的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值.特别地,当$x_2=x_1$时,直线与$y$轴平行(或垂直于$x$轴),此时直线的斜率$k$不存在.
【理解运用】
(1)已知$P(1,3),Q(4,6)$两点,则直线$PQ$的斜率$k=$,其函数表达式为;
(2)已知$E(2,3),F(6,m)$两点,其中$m$为常数.若直线$EF$与直线$y=2x-7$平行,求$m$的值;
【拓展迁移】
(3)若直线$l_1:y=kx+b_1(k≠0)$上有$A(2,a),B(3,2a-1)$两点,直线$l_2:y=kx(k≠0)$上有一点$C(-3,-2a-1)$,则$a=$, $k=$;
(4)求证:平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线.
【母题分析】▶通过材料阅读,掌握斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_2≠x_1)$,应用斜率公式解答:(1)由点的坐标计算直线$PQ$的斜率$k$,进而得到直线$PQ$的函数表达式;(2)由平行得出直线斜率,利用斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,解方程得出$m$的值;(3)根据两直线上的点的坐标计算斜率后,根据两直线的斜率关系,得出等量关系,求得$a$的值,即可得出$k$的值;(4)分别计算直线$MN,MK$的斜率即可得证.
【答案】(1) 1 $y=x+2$ 解析:因为$P(1,3),Q(4,6)$,所以由斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,得$k=\frac{y-3}{x-1}=\frac{6-3}{4-1}=1$.所以直线$PQ$的函数表达式为$y-3=x-1$,即$y=x+2$.
(2)因为直线$EF$与直线$y=2x-7$平行,所以直线$EF$的斜率为2.因为点$E$的坐标为$(2,3)$,点$F$的坐标为$(6,m)$,其中$m$为常数,所以$\frac{m-3}{6-2}=2$,解得$m=11$.则$m$的值为11.
(3) 4 3 解析:由题意,得直线$l_1$的斜率$k=\frac{(2a-1)-a}{3-2}=a-1$,直线$l_2$的斜率$k=\frac{-2a-1}{-3}=\frac{2a+1}{3}$,所以$a-1=\frac{2a+1}{3}$,解得$a=4$.所以$k=a-1=3$.
(4)由题意,得$k_{MN}=\frac{3+1}{2+6}=\frac{1}{2},k_{MK}=\frac{7+1}{4+6}=\frac{4}{5}$.因为$k_{MN}≠k_{MK}$,所以平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线.
【阅读材料】一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条直线,通常也称为直线$y=kx+b$,其中$k$称为直线的斜率,它表示直线关于坐标轴的倾斜程度.特别地,当$k=0$时,直线$y=b$.所以,直线$y=kx+b$可由直线$y=kx(k≠0)$经过平移得到.已知直线上的两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$,如何求出$k$的值呢?将$A,B$两点的坐标分别代入$y=kx+b$中,得$y_1=kx_1+b,y_2=kx_2+b$.把上面两式相减,消去$b$,得到$y_2-y_1=k(x_2-x_1)$,当$x_2≠x_1$时,求得$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.因此,当$x_2≠x_1$时,直线$AB$的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值.特别地,当$x_2=x_1$时,直线与$y$轴平行(或垂直于$x$轴),此时直线的斜率$k$不存在.
【理解运用】
(1)已知$P(1,3),Q(4,6)$两点,则直线$PQ$的斜率$k=$,其函数表达式为;
(2)已知$E(2,3),F(6,m)$两点,其中$m$为常数.若直线$EF$与直线$y=2x-7$平行,求$m$的值;
【拓展迁移】
(3)若直线$l_1:y=kx+b_1(k≠0)$上有$A(2,a),B(3,2a-1)$两点,直线$l_2:y=kx(k≠0)$上有一点$C(-3,-2a-1)$,则$a=$, $k=$;
(4)求证:平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线.
【母题分析】▶通过材料阅读,掌握斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_2≠x_1)$,应用斜率公式解答:(1)由点的坐标计算直线$PQ$的斜率$k$,进而得到直线$PQ$的函数表达式;(2)由平行得出直线斜率,利用斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,解方程得出$m$的值;(3)根据两直线上的点的坐标计算斜率后,根据两直线的斜率关系,得出等量关系,求得$a$的值,即可得出$k$的值;(4)分别计算直线$MN,MK$的斜率即可得证.
【答案】(1) 1 $y=x+2$ 解析:因为$P(1,3),Q(4,6)$,所以由斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,得$k=\frac{y-3}{x-1}=\frac{6-3}{4-1}=1$.所以直线$PQ$的函数表达式为$y-3=x-1$,即$y=x+2$.
(2)因为直线$EF$与直线$y=2x-7$平行,所以直线$EF$的斜率为2.因为点$E$的坐标为$(2,3)$,点$F$的坐标为$(6,m)$,其中$m$为常数,所以$\frac{m-3}{6-2}=2$,解得$m=11$.则$m$的值为11.
(3) 4 3 解析:由题意,得直线$l_1$的斜率$k=\frac{(2a-1)-a}{3-2}=a-1$,直线$l_2$的斜率$k=\frac{-2a-1}{-3}=\frac{2a+1}{3}$,所以$a-1=\frac{2a+1}{3}$,解得$a=4$.所以$k=a-1=3$.
(4)由题意,得$k_{MN}=\frac{3+1}{2+6}=\frac{1}{2},k_{MK}=\frac{7+1}{4+6}=\frac{4}{5}$.因为$k_{MN}≠k_{MK}$,所以平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线.
答案：解：
(1) 代入斜率公式得$k=\frac{6-3}{4-1}=1$。
设直线PQ的表达式为$y=x+b$，将$P(1,3)$代入，得$3=1+b$，解得$b=2$，因此函数表达式为$y=x+2$。
故答案为：$1$；$y=x+2$。
(2) 因为直线$EF$与直线$y=2x-7$平行，所以直线$EF$的斜率为$2$。
将$E(2,3)$、$F(6,m)$代入斜率公式，得$\frac{m-3}{6-2}=2$，
解得$m=11$。
答：$m$的值为$11$。
(3) 由斜率公式，直线$l_1$的斜率$k=\frac{(2a-1)-a}{3-2}=a-1$，
直线$l_2$的斜率$k=\frac{-2a-1}{-3}=\frac{2a+1}{3}$。
由两直线斜率相等得$a-1=\frac{2a+1}{3}$，
解得$a=4$，则$k=4-1=3$。
故答案为：$4$；$3$。
(4) 证明：由斜率公式可得：
$k_{MN}=\frac{3-(-1)}{2-(-6)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$k_{MK}=\frac{7-(-1)}{4-(-6)}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
因为$k_{MN}≠ k_{MK}$，所以过点M的直线MN与直线MK不是同一条直线，因此平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线。
(1) 代入斜率公式得$k=\frac{6-3}{4-1}=1$。
设直线PQ的表达式为$y=x+b$，将$P(1,3)$代入，得$3=1+b$，解得$b=2$，因此函数表达式为$y=x+2$。
故答案为：$1$；$y=x+2$。
(2) 因为直线$EF$与直线$y=2x-7$平行，所以直线$EF$的斜率为$2$。
将$E(2,3)$、$F(6,m)$代入斜率公式，得$\frac{m-3}{6-2}=2$，
解得$m=11$。
答：$m$的值为$11$。
(3) 由斜率公式，直线$l_1$的斜率$k=\frac{(2a-1)-a}{3-2}=a-1$，
直线$l_2$的斜率$k=\frac{-2a-1}{-3}=\frac{2a+1}{3}$。
由两直线斜率相等得$a-1=\frac{2a+1}{3}$，
解得$a=4$，则$k=4-1=3$。
故答案为：$4$；$3$。
(4) 证明：由斜率公式可得：
$k_{MN}=\frac{3-(-1)}{2-(-6)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$k_{MK}=\frac{7-(-1)}{4-(-6)}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
因为$k_{MN}≠ k_{MK}$，所以过点M的直线MN与直线MK不是同一条直线，因此平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线。