21（12分）如图，用三种不同的正方形和一个缺角的长方形（图形AFHGNE）拼成一个大长方形ABCD，其中$GH=a$，$GN=3$，$BF=b$，设长方形ABCD的周长为$L$.
（1）用含$a,b$的代数式表示$L=$
（2）若$P=3a^2+2b^2-5a-8b+1$，当$a=\dfrac{1}{3}$，$b=\dfrac{1}{2}$时，求$3P+2L$的值.
（1）用含$a,b$的代数式表示$L=$
$10a+16b-6$
；（2）若$P=3a^2+2b^2-5a-8b+1$，当$a=\dfrac{1}{3}$，$b=\dfrac{1}{2}$时，求$3P+2L$的值.
答案：
21. (1) $10a+16b-6$ 【解析】如图
,因为易知$CM=GH+FB=a+b$,所以$DM=NM=2(a+b)-3=2a+2b-3$,$AD=BC=3b+2(a+b)=2a+5b$. 所以$CD=DM+CM=2a+2b-3+a+b=3a+3b-3$. 所以长方形$ABCD$的周长$L=2(AD+CD)=2(2a+5b+3a+3b-3)=10a+16b-6$.
(2) 因为$P=3a^2+2b^2-5a-8b+1$,$L=10a+16b-6$,所以$3P+2L=3(3a^2+2b^2-5a-8b+1)+2(10a+16b-6)=9a^2+6b^2-15a-24b+3+20a+32b-12=9a^2+6b^2+5a+8b-9$. 当$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{2}$时,$3P+2L=9×(\frac{1}{3})^2+6×(\frac{1}{2})^2+5×\frac{1}{3}+8×\frac{1}{2}-9=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{3}+4-9=-\frac{5}{6}$
21. (1) $10a+16b-6$ 【解析】如图
,因为易知$CM=GH+FB=a+b$,所以$DM=NM=2(a+b)-3=2a+2b-3$,$AD=BC=3b+2(a+b)=2a+5b$. 所以$CD=DM+CM=2a+2b-3+a+b=3a+3b-3$. 所以长方形$ABCD$的周长$L=2(AD+CD)=2(2a+5b+3a+3b-3)=10a+16b-6$.(2) 因为$P=3a^2+2b^2-5a-8b+1$,$L=10a+16b-6$,所以$3P+2L=3(3a^2+2b^2-5a-8b+1)+2(10a+16b-6)=9a^2+6b^2-15a-24b+3+20a+32b-12=9a^2+6b^2+5a+8b-9$. 当$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{2}$时,$3P+2L=9×(\frac{1}{3})^2+6×(\frac{1}{2})^2+5×\frac{1}{3}+8×\frac{1}{2}-9=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{3}+4-9=-\frac{5}{6}$
解析：
【分析】
（1）要求大长方形ABCD的周长，需要先求出它的长和宽。首先观察图形中各正方形的边长关系：左下角3个最小正方形的边长均为b，边长为$a+b$的正方形有2个，由此分别推导AD（宽）和CD（长）的表达式，再根据长方形周长公式即可求出L。
（2）先将P和L的表达式代入$3P+2L$，通过去括号、合并同类项化简，再把a、b的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
（1）观察图形可知：
最小的正方形边长为$BF=b$，$CM=GH+BF=a+b$，
则正方形的边长$DM=NM=2(a+b)-3=2a+2b-3$，
长方形的宽$AD=BC=3b+2(a+b)=2a+5b$，
长方形的长$CD=DM+CM=(2a+2b-3)+(a+b)=3a+3b-3$，
根据长方形周长公式，$L=2(AD+CD)=2[(2a+5b)+(3a+3b-3)]=2(5a+8b-3)=10a+16b-6$。
（2）将$P=3a^2+2b^2-5a-8b+1$，$L=10a+16b-6$代入$3P+2L$：
$\begin{aligned}3P+2L&=3(3a^2+2b^2-5a-8b+1)+2(10a+16b-6)\\&=9a^2+6b^2-15a-24b+3+20a+32b-12\\&=9a^2+6b^2+5a+8b-9\end{aligned}$
当$a=\dfrac{1}{3}$，$b=\dfrac{1}{2}$时：
$\begin{aligned}原式&=9×(\dfrac{1}{3})^2+6×(\dfrac{1}{2})^2+5×\dfrac{1}{3}+8×\dfrac{1}{2}-9\\&=1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{3}+4-9\\&=-\dfrac{5}{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{10a+16b-6}$
(2) $\boxed{-\dfrac{5}{6}}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考察整式的相关运算，解题关键是通过观察图形找准各边之间的等量关系，正确列出长和宽的代数式，运算时要注意去括号的符号规则，代入求值时需细心计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.6
（1）要求大长方形ABCD的周长，需要先求出它的长和宽。首先观察图形中各正方形的边长关系：左下角3个最小正方形的边长均为b，边长为$a+b$的正方形有2个，由此分别推导AD（宽）和CD（长）的表达式，再根据长方形周长公式即可求出L。
（2）先将P和L的表达式代入$3P+2L$，通过去括号、合并同类项化简，再把a、b的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
（1）观察图形可知：
最小的正方形边长为$BF=b$，$CM=GH+BF=a+b$，
则正方形的边长$DM=NM=2(a+b)-3=2a+2b-3$，
长方形的宽$AD=BC=3b+2(a+b)=2a+5b$，
长方形的长$CD=DM+CM=(2a+2b-3)+(a+b)=3a+3b-3$，
根据长方形周长公式，$L=2(AD+CD)=2[(2a+5b)+(3a+3b-3)]=2(5a+8b-3)=10a+16b-6$。
（2）将$P=3a^2+2b^2-5a-8b+1$，$L=10a+16b-6$代入$3P+2L$：
$\begin{aligned}3P+2L&=3(3a^2+2b^2-5a-8b+1)+2(10a+16b-6)\\&=9a^2+6b^2-15a-24b+3+20a+32b-12\\&=9a^2+6b^2+5a+8b-9\end{aligned}$
当$a=\dfrac{1}{3}$，$b=\dfrac{1}{2}$时：
$\begin{aligned}原式&=9×(\dfrac{1}{3})^2+6×(\dfrac{1}{2})^2+5×\dfrac{1}{3}+8×\dfrac{1}{2}-9\\&=1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{3}+4-9\\&=-\dfrac{5}{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{10a+16b-6}$
(2) $\boxed{-\dfrac{5}{6}}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考察整式的相关运算，解题关键是通过观察图形找准各边之间的等量关系，正确列出长和宽的代数式，运算时要注意去括号的符号规则，代入求值时需细心计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.6