19 (10分)先化简,再求值:$5(3a^2b - ab^2) -4(-ab^2 +3a^2b)$,其中$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{3}$
答案：原式$=3a^2b-ab^2$.当$a=\frac{1}{2}$,$b=-\frac{1}{3}$时,原式$=-\frac{11}{36}$
解析：
【分析】
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步去括号，注意括号外的系数要乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内所有项都要变号；第二步合并同类项，将所含字母相同、相同字母的指数也相同的项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入a、b的取值计算，代入时注意负数乘方的符号规则，按有理数运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简原式：
$5(3a^2b - ab^2) -4(-ab^2 +3a^2b)$
$=15a^2b - 5ab^2 + 4ab^2 -12a^2b$
合并同类项：
$=(15a^2b-12a^2b)+(-5ab^2+4ab^2)$
$=3a^2b - ab^2$
将$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=3×(\frac{1}{2})^2×(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{2}×(-\frac{1}{3})^2$
$=3×\frac{1}{4}×(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{2}×\frac{1}{9}$
$=-\frac{1}{4} - \frac{1}{18}$
$=-\frac{9}{36} - \frac{2}{36}$
$=-\frac{11}{36}$
【答案】
化简结果为$3a^2b-ab^2$，求值结果为$-\frac{11}{36}$
【知识点】
整式的加减；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查去括号法则、合并同类项的运算能力，计算时需格外注意符号变化，避免出现漏乘系数、符号错误等问题，代入求值时要严格遵循有理数的运算顺序。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步去括号，注意括号外的系数要乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内所有项都要变号；第二步合并同类项，将所含字母相同、相同字母的指数也相同的项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入a、b的取值计算，代入时注意负数乘方的符号规则，按有理数运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简原式：
$5(3a^2b - ab^2) -4(-ab^2 +3a^2b)$
$=15a^2b - 5ab^2 + 4ab^2 -12a^2b$
合并同类项：
$=(15a^2b-12a^2b)+(-5ab^2+4ab^2)$
$=3a^2b - ab^2$
将$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=3×(\frac{1}{2})^2×(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{2}×(-\frac{1}{3})^2$
$=3×\frac{1}{4}×(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{2}×\frac{1}{9}$
$=-\frac{1}{4} - \frac{1}{18}$
$=-\frac{9}{36} - \frac{2}{36}$
$=-\frac{11}{36}$
【答案】
化简结果为$3a^2b-ab^2$，求值结果为$-\frac{11}{36}$
【知识点】
整式的加减；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查去括号法则、合并同类项的运算能力，计算时需格外注意符号变化，避免出现漏乘系数、符号错误等问题，代入求值时要严格遵循有理数的运算顺序。
【难度系数】
0.8
20（12分）某校计划举办一场关于“长城文化”的知识竞赛，预算1000元用于购买长跳绳与短跳绳共50根，以奖励参赛者。已知长跳绳的单价为30元，短跳绳的单价为18元。学生会的某名成员预估购买奖品后还能剩余25元，该成员的预估正确吗？若正确，求出购买长跳绳与短跳绳各多少根；若不正确，请说明理由。
答案：该成员的预估不正确 理由:设购买长跳绳$x$根,则购买短跳绳$(50-x)$根.根据题意,得$30x+18(50-x)=1\ 000-25$,解得$x=\frac{25}{4}$.因为长跳绳的根数为整数,而$x=\frac{25}{4}$不是整数,所以该成员的预估不正确.
解析：
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题思路如下：首先找到题目中的核心等量关系：长跳绳总费用+短跳绳总费用=预算总金额-预估剩余金额；其次设长跳绳的数量为未知数，用总跳绳数表示出短跳绳的数量，代入等量关系列方程；最后求解方程后，结合“跳绳根数必须为正整数”的实际要求检验解的合理性，即可判断预估是否正确。
【解析】
解：设购买长跳绳$x$根，则购买短跳绳$(50-x)$根。
若预估剩余25元，则购买跳绳的总花费为$1000-25=975$元。
根据总费用的等量关系列方程：
$30x + 18(50-x) = 1000 - 25$
化简得：$30x + 900 - 18x = 975$
合并同类项得：$12x + 900 = 975$
移项计算得：$12x = 75$
解得：$x=\frac{25}{4}$
因为跳绳的根数必须是正整数，但$\frac{25}{4}$不是整数，不符合实际情况，因此该成员的预估不正确。
【答案】
该成员的预估不正确 理由:设购买长跳绳$x$根,则购买短跳绳$(50-x)$根.根据题意,得$30x+18(50-x)=1000-25$,解得$x=\frac{25}{4}$.因为长跳绳的根数为整数,而$x=\frac{25}{4}$不是整数,所以该成员的预估不正确.
【知识点】
一元一次方程应用；实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活场景考查一元一次方程的应用，解题的核心是找准等量关系列方程，需要注意的是实际问题的解不仅要满足方程，还要符合现实情境的要求，不能仅求解完方程就直接下结论，要养成检验解的合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题思路如下：首先找到题目中的核心等量关系：长跳绳总费用+短跳绳总费用=预算总金额-预估剩余金额；其次设长跳绳的数量为未知数，用总跳绳数表示出短跳绳的数量，代入等量关系列方程；最后求解方程后，结合“跳绳根数必须为正整数”的实际要求检验解的合理性，即可判断预估是否正确。
【解析】
解：设购买长跳绳$x$根，则购买短跳绳$(50-x)$根。
若预估剩余25元，则购买跳绳的总花费为$1000-25=975$元。
根据总费用的等量关系列方程：
$30x + 18(50-x) = 1000 - 25$
化简得：$30x + 900 - 18x = 975$
合并同类项得：$12x + 900 = 975$
移项计算得：$12x = 75$
解得：$x=\frac{25}{4}$
因为跳绳的根数必须是正整数，但$\frac{25}{4}$不是整数，不符合实际情况，因此该成员的预估不正确。
【答案】
该成员的预估不正确 理由:设购买长跳绳$x$根,则购买短跳绳$(50-x)$根.根据题意,得$30x+18(50-x)=1000-25$,解得$x=\frac{25}{4}$.因为长跳绳的根数为整数,而$x=\frac{25}{4}$不是整数,所以该成员的预估不正确.
【知识点】
一元一次方程应用；实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活场景考查一元一次方程的应用，解题的核心是找准等量关系列方程，需要注意的是实际问题的解不仅要满足方程，还要符合现实情境的要求，不能仅求解完方程就直接下结论，要养成检验解的合理性的习惯。
【难度系数】
0.7