16.「2026北京顺义期末，★★☆」(10分)在平面直角坐标系$xOy$中，点$(m,n)$在抛物线$y=ax^2 -2a^2x -1(a＞0)$上。
(1)求抛物线的对称轴(用含$a$的式子表示)。
(2)若对于$a-1＜m＜a+\frac{1}{2}$，都有$n＜-1$，求$a$的取值范围。
(1)求抛物线的对称轴(用含$a$的式子表示)。
(2)若对于$a-1＜m＜a+\frac{1}{2}$，都有$n＜-1$，求$a$的取值范围。
答案：16.解析 (1)$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$,故对称轴为直线 $x=a$.
(2)$\because$ 点$(m,n)$在抛物线 $y=ax^2-2a^2x-1$ 上,$\therefore n=am^2-2a^2m-1$,$\because n＜-1$,$\therefore am^2-2a^2m-1＜-1$,$\therefore am^2-2a^2m＜0$,$\because a＞0$,$\therefore m^2-2am＜0$,设 $s=m^2-2am$,作 $s$ 关于 $m$ 的函数图象(图略),得该抛物线和 $x$ 轴交于点$(0,0)$,$(2a,0)$且开口向上,故 $s=m^2-2am＜0$ 的解集为 $0＜m＜2a$,$\because$ 对于 $a-1＜m＜a+\frac{1}{2}$,都有 $n＜-1$,$\therefore \begin{cases} a-1 ≥ 0, \\ a+\frac{1}{2} ≤ 2a, \end{cases}$ 解得 $a ≥ 1$.
(2)$\because$ 点$(m,n)$在抛物线 $y=ax^2-2a^2x-1$ 上,$\therefore n=am^2-2a^2m-1$,$\because n＜-1$,$\therefore am^2-2a^2m-1＜-1$,$\therefore am^2-2a^2m＜0$,$\because a＞0$,$\therefore m^2-2am＜0$,设 $s=m^2-2am$,作 $s$ 关于 $m$ 的函数图象(图略),得该抛物线和 $x$ 轴交于点$(0,0)$,$(2a,0)$且开口向上,故 $s=m^2-2am＜0$ 的解集为 $0＜m＜2a$,$\because$ 对于 $a-1＜m＜a+\frac{1}{2}$,都有 $n＜-1$,$\therefore \begin{cases} a-1 ≥ 0, \\ a+\frac{1}{2} ≤ 2a, \end{cases}$ 解得 $a ≥ 1$.
解析：
【分析】
(1) 求解抛物线对称轴可直接套用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，只需准确对应解析式中二次项、一次项的系数，代入计算即可。
(2) 先将点坐标代入抛物线解析式，结合$n＜-1$的条件化简不等式，利用$a＞0$的性质消去参数$a$，得到关于$m$的取值范围；再根据给定的$m$的区间内所有值都满足$n＜-1$，说明该区间要完全包含在刚才解得的$m$的取值范围内，据此列不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2 -2a^2x -1(a＞0)$，其中二次项系数为$a$，一次项系数为$-2a^2$，代入对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a^2}{2a}=a$
因此抛物线的对称轴为直线$x=a$。
(2) $\because$ 点$(m,n)$在抛物线上，$\therefore n=am^2-2a^2m-1$
由$n＜-1$可得：
$am^2-2a^2m-1＜-1$
整理得$am^2-2a^2m＜0$
$\because a＞0$，不等式两边同时除以$a$，不等号方向不变，得$m^2-2am＜0$
设$s=m^2-2am$，该函数是开口向上的二次函数，与$x$轴交于$(0,0)$和$(2a,0)$，因此$s＜0$的解集为$0＜m＜2a$
$\because$ 对于$a-1＜m＜a+\frac{1}{2}$，都有$n＜-1$，即该区间内所有$m$都满足$0＜m＜2a$
$\therefore$ 列不等式组：
$\begin{cases} a-1 ≥ 0 \\ a+\frac{1}{2} ≤ 2a \end{cases}$
解第一个不等式得$a≥1$，解第二个不等式得$a≥\frac{1}{2}$，取交集得$a≥1$。
【答案】
(1) 直线$x=a$；(2) $a≥1$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数与不等式；不等式组求解
【点评】
本题第一问为基础题，直接考察二次函数基本公式的应用；第二问需要将函数值的不等关系转化为自变量的取值范围，再结合区间包含条件列不等式求解，重点考察转化思想，是二次函数的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
(1) 求解抛物线对称轴可直接套用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，只需准确对应解析式中二次项、一次项的系数，代入计算即可。
(2) 先将点坐标代入抛物线解析式，结合$n＜-1$的条件化简不等式，利用$a＞0$的性质消去参数$a$，得到关于$m$的取值范围；再根据给定的$m$的区间内所有值都满足$n＜-1$，说明该区间要完全包含在刚才解得的$m$的取值范围内，据此列不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2 -2a^2x -1(a＞0)$，其中二次项系数为$a$，一次项系数为$-2a^2$，代入对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a^2}{2a}=a$
因此抛物线的对称轴为直线$x=a$。
(2) $\because$ 点$(m,n)$在抛物线上，$\therefore n=am^2-2a^2m-1$
由$n＜-1$可得：
$am^2-2a^2m-1＜-1$
整理得$am^2-2a^2m＜0$
$\because a＞0$，不等式两边同时除以$a$，不等号方向不变，得$m^2-2am＜0$
设$s=m^2-2am$，该函数是开口向上的二次函数，与$x$轴交于$(0,0)$和$(2a,0)$，因此$s＜0$的解集为$0＜m＜2a$
$\because$ 对于$a-1＜m＜a+\frac{1}{2}$，都有$n＜-1$，即该区间内所有$m$都满足$0＜m＜2a$
$\therefore$ 列不等式组：
$\begin{cases} a-1 ≥ 0 \\ a+\frac{1}{2} ≤ 2a \end{cases}$
解第一个不等式得$a≥1$，解第二个不等式得$a≥\frac{1}{2}$，取交集得$a≥1$。
【答案】
(1) 直线$x=a$；(2) $a≥1$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数与不等式；不等式组求解
【点评】
本题第一问为基础题，直接考察二次函数基本公式的应用；第二问需要将函数值的不等关系转化为自变量的取值范围，再结合区间包含条件列不等式求解，重点考察转化思想，是二次函数的典型中档题型。
【难度系数】
0.6