17.聚焦 中考项目式学习「2026广东广州天河期中，★☆」（12分）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创造发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，
是位于某市的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形。在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米。
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米。四边形DEFG为矩形，OD=BE。现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线。
(1)求此抛物线的解析式。
(2)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
是位于某市的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形。在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米。素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米。四边形DEFG为矩形，OD=BE。现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线。
(1)求此抛物线的解析式。
(2)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
答案：17.解析 (1)由题意得,$O(0,0)$,$B(40,0)$,抛物线的顶点坐标为$(20,10)$,设抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx$,将$(40,0)$,$(20,10)$代入,得$\begin{cases} 1600a+40b=0, \\ 400a+20b=10, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} a=-\frac{1}{40}, \\ b=1, \end{cases}$$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{40}x^2+x$.
(2)此时该货船能安全过桥.理由如下:
$\because DE=16$ 米,$OB=40$ 米,$OD=BE$,$\therefore OD=12$ 米,当水位上升 0.5 米时,相当于抛物线向下平移 0.5 个单位长度,$\therefore$ 平移后抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{40}x^2+x-\frac{1}{2}$.把 $x=12$ 代入 $y=-\frac{1}{40}x^2+x-\frac{1}{2}$,得 $y=-\frac{1}{40} × 12^2+12-\frac{1}{2}=7.9$.$\because 7.9＞7$,$\therefore$ 此时该货船能安全过桥.
(2)此时该货船能安全过桥.理由如下:
$\because DE=16$ 米,$OB=40$ 米,$OD=BE$,$\therefore OD=12$ 米,当水位上升 0.5 米时,相当于抛物线向下平移 0.5 个单位长度,$\therefore$ 平移后抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{40}x^2+x-\frac{1}{2}$.把 $x=12$ 代入 $y=-\frac{1}{40}x^2+x-\frac{1}{2}$,得 $y=-\frac{1}{40} × 12^2+12-\frac{1}{2}=7.9$.$\because 7.9＞7$,$\therefore$ 此时该货船能安全过桥.
解析：
【分析】
（1）求解抛物线解析式首先要提取题干中的坐标信息：由OB=40米得B点坐标为(40,0)，桥拱最高点到水面距离为10米，结合抛物线对称性可知顶点坐标为(20,10)，且抛物线过原点(0,0)，因此可设常数项为0的二次函数一般式$y=ax^2+bx$，将已知的B点和顶点坐标代入解析式，解二元一次方程组即可求得系数，得到抛物线解析式。
（2）判断货船能否过桥，首先根据货船宽度和OB长度，结合OD=BE算出OD的长度，得到货船边缘对应的横坐标；水位上升0.5米相当于抛物线向下平移0.5个单位，得到平移后的解析式，将货船边缘的横坐标代入平移后的解析式，求得对应高度，与货船露出水面的高度7米比较大小，若计算得到的高度大于7则能安全过桥，反之不能。
【解析】
(1) 由题意可知，$O(0,0)$，$B(40,0)$，抛物线的顶点坐标为$(20,10)$。
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx$，
将$(40,0)$、$(20,10)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 1600a+40b=0 \\ 400a+20b=10 \end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases} a=-\frac{1}{40} \\ b=1 \end{cases}$
∴此抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{40}x^2+x$。
(2) 此时该货船能安全过桥，理由如下：
∵$DE=16$米，$OB=40$米，且$OD=BE$，
∴$OD=\frac{OB-DE}{2}=\frac{40-16}{2}=12$米。
水位上升0.5米，相当于抛物线向下平移0.5个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{40}x^2+x-\frac{1}{2}$。
把$x=12$代入平移后的解析式，得：
$y=-\frac{1}{40} × 12^2+12-\frac{1}{2}=7.9$
∵$7.9＞7$，即此时桥拱对应位置的高度大于货船露出水面的高度，
∴此时该货船能安全过桥。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{40}x^2+x$
(2) 此时该货船能安全过桥
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的平移；二次函数实际应用
【点评】
本题以拱桥通航为实际背景，考查二次函数的相关知识，解题的关键是准确提取坐标信息求出函数解析式，结合坐标的实际意义通过代数计算判断通行情况，将实际问题转化为数学问题求解，实用性较强。
【难度系数】
0.7
（1）求解抛物线解析式首先要提取题干中的坐标信息：由OB=40米得B点坐标为(40,0)，桥拱最高点到水面距离为10米，结合抛物线对称性可知顶点坐标为(20,10)，且抛物线过原点(0,0)，因此可设常数项为0的二次函数一般式$y=ax^2+bx$，将已知的B点和顶点坐标代入解析式，解二元一次方程组即可求得系数，得到抛物线解析式。
（2）判断货船能否过桥，首先根据货船宽度和OB长度，结合OD=BE算出OD的长度，得到货船边缘对应的横坐标；水位上升0.5米相当于抛物线向下平移0.5个单位，得到平移后的解析式，将货船边缘的横坐标代入平移后的解析式，求得对应高度，与货船露出水面的高度7米比较大小，若计算得到的高度大于7则能安全过桥，反之不能。
【解析】
(1) 由题意可知，$O(0,0)$，$B(40,0)$，抛物线的顶点坐标为$(20,10)$。
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx$，
将$(40,0)$、$(20,10)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 1600a+40b=0 \\ 400a+20b=10 \end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases} a=-\frac{1}{40} \\ b=1 \end{cases}$
∴此抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{40}x^2+x$。
(2) 此时该货船能安全过桥，理由如下：
∵$DE=16$米，$OB=40$米，且$OD=BE$，
∴$OD=\frac{OB-DE}{2}=\frac{40-16}{2}=12$米。
水位上升0.5米，相当于抛物线向下平移0.5个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{40}x^2+x-\frac{1}{2}$。
把$x=12$代入平移后的解析式，得：
$y=-\frac{1}{40} × 12^2+12-\frac{1}{2}=7.9$
∵$7.9＞7$，即此时桥拱对应位置的高度大于货船露出水面的高度，
∴此时该货船能安全过桥。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{40}x^2+x$
(2) 此时该货船能安全过桥
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的平移；二次函数实际应用
【点评】
本题以拱桥通航为实际背景，考查二次函数的相关知识，解题的关键是准确提取坐标信息求出函数解析式，结合坐标的实际意义通过代数计算判断通行情况，将实际问题转化为数学问题求解，实用性较强。
【难度系数】
0.7