18.「2026辽宁大连期末节选，★★★」(12分)如图,在平面直角坐标系中,O是原点.抛物线$y=ax^2+bx+4$与x轴交于点$A(-3,0)$,$B(2,0)$,与y轴交于点C.点P是抛物线上的一个动点,其横坐标是m.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)当$PC// AB$时,求点P的坐标.
(3)取OC的中点M,连接PM,以PM为对角线作正方形PQMN,当$m＜0$,且正方形PQMN的顶点N或Q落在x轴上时,请直接写出m的值.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)当$PC// AB$时,求点P的坐标.
(3)取OC的中点M,连接PM,以PM为对角线作正方形PQMN,当$m＜0$,且正方形PQMN的顶点N或Q落在x轴上时,请直接写出m的值.
答案：
18.解析 (1)把 $A(-3,0)$,$B(2,0)$ 代入 $y=ax^2+bx+4$,得$\begin{cases} 0=9a-3b+4, \\ 0=4a+2b+4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3}, \\ b=-\frac{2}{3}, \end{cases}$$\therefore$ 该抛物线的解析式为 $y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$.
(2)$\because$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$,与 $y$ 轴交于点 $C$,$\therefore C(0,4)$,$\because PC // AB$,$\therefore P$ 点纵坐标为 4,令 $-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4=4$,解得 $x_1=0$,$x_2=-1$,$\therefore P(-1,4)$.
(3)$m$ 的值为 $\frac{1-\sqrt{145}}{4}$ 或 $-\frac{9}{2}$.
详解:①如图 1,过 $P$ 作 $PH ⊥ x$ 轴于 $H$.
$\because$ 四边形 $PQMN$ 是正方形,$\therefore PQ=QM$,$∠ PQM=90°$,$\therefore ∠ PQH+∠ MQO=90°$,$\because ∠ MOQ=90°$,$\therefore ∠ MOQ=∠ QHP$,$∠ QMO+∠ MQO=90°$,$\therefore ∠ PQH=∠ QMO$,$\therefore △ PQH ≌ △ QMO(\mathrm{AAS})$,$\therefore MO=QH$,$PH=OQ$,
$\because M$ 为 $OC$ 的中点,$\therefore M(0,2)$,$\therefore QH=MO=2$,
$\because P(m,-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4)$,$\therefore OQ=PH=-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4$,
$\because OQ+QH=OH$,$\therefore -\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4+2=-m$,
$\therefore 2m^2-m-18=0$,解得 $m=\frac{1 \pm \sqrt{145}}{4}$,
$\because m＜0$,$\therefore m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}$.
②如图 2,过 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于 $D$.
同①易证$△ MON ≌ △ NDP(\mathrm{AAS})$,
$\therefore ND=MO=2$,$ON=PD=\frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4$,
$\because ON=ND+DO$,$\therefore \frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4=-m+2$,
$\therefore 2m^2+5m-18=0$,解得 $m=-\frac{9}{2}$ 或 $2$,
$\because m＜0$,$\therefore m=-\frac{9}{2}$.
综上所述,$m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}$ 或 $m=-\frac{9}{2}$.
18.解析 (1)把 $A(-3,0)$,$B(2,0)$ 代入 $y=ax^2+bx+4$,得$\begin{cases} 0=9a-3b+4, \\ 0=4a+2b+4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3}, \\ b=-\frac{2}{3}, \end{cases}$$\therefore$ 该抛物线的解析式为 $y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$.
(2)$\because$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$,与 $y$ 轴交于点 $C$,$\therefore C(0,4)$,$\because PC // AB$,$\therefore P$ 点纵坐标为 4,令 $-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4=4$,解得 $x_1=0$,$x_2=-1$,$\therefore P(-1,4)$.
(3)$m$ 的值为 $\frac{1-\sqrt{145}}{4}$ 或 $-\frac{9}{2}$.
详解:①如图 1,过 $P$ 作 $PH ⊥ x$ 轴于 $H$.
$\because$ 四边形 $PQMN$ 是正方形,$\therefore PQ=QM$,$∠ PQM=90°$,$\therefore ∠ PQH+∠ MQO=90°$,$\because ∠ MOQ=90°$,$\therefore ∠ MOQ=∠ QHP$,$∠ QMO+∠ MQO=90°$,$\therefore ∠ PQH=∠ QMO$,$\therefore △ PQH ≌ △ QMO(\mathrm{AAS})$,$\therefore MO=QH$,$PH=OQ$,
$\because M$ 为 $OC$ 的中点,$\therefore M(0,2)$,$\therefore QH=MO=2$,
$\because P(m,-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4)$,$\therefore OQ=PH=-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4$,
$\because OQ+QH=OH$,$\therefore -\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4+2=-m$,
$\therefore 2m^2-m-18=0$,解得 $m=\frac{1 \pm \sqrt{145}}{4}$,
$\because m＜0$,$\therefore m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}$.
②如图 2,过 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于 $D$.
同①易证$△ MON ≌ △ NDP(\mathrm{AAS})$,
$\therefore ND=MO=2$,$ON=PD=\frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4$,
$\because ON=ND+DO$,$\therefore \frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4=-m+2$,
$\therefore 2m^2+5m-18=0$,解得 $m=-\frac{9}{2}$ 或 $2$,
$\because m＜0$,$\therefore m=-\frac{9}{2}$.
综上所述,$m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}$ 或 $m=-\frac{9}{2}$.
解析：
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，且解析式常数项已知，只需将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b即可确定解析式。
(2) AB在x轴上，若PC平行AB，则PC平行于x轴，因此点P与点C纵坐标相等，先求出C点坐标，再将P点纵坐标代入解析式求解横坐标，排除与C重合的点即可得到P的坐标。
(3) 分两种情况讨论：①顶点Q落在x轴上，②顶点N落在x轴上。两种情况均过P作x轴的垂线，利用正方形边相等、角为90°的性质证明构造的直角三角形全等，得到对应线段相等，再结合P点坐标（横坐标为m，纵坐标由解析式表示），根据线段长度关系列方程求解，最后根据m＜0的条件筛选结果。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$，$B(2,0)$代入$y=ax^2+bx+4$，得：
$\begin{cases} 0=9a-3b+4 \\ 0=4a+2b+4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3} \\ b=-\frac{2}{3} \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$。
(2) 在$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$中，令$x=0$得$y=4$，
∴$C(0,4)$。
∵$PC// AB$，AB在x轴上，
∴点P纵坐标为4。
令$-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4=4$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，
$x=0$对应点C，舍去，
∴$P(-1,4)$。
(3)
∵M是OC中点，$OC=4$，
∴$M(0,2)$，分两种情况：
①当Q落在x轴上时，如图1，过P作$PH⊥ x$轴于H。
∵四边形PQMN是正方形，
∴$PQ=QM$，$∠ PQM=90°$，
∴$∠ PQH+∠ MQO=90°$，
又$∠ QMO+∠ MQO=90°$，
∴$∠ PQH=∠ QMO$，
又$∠ PHQ=∠ QOM=90°$，
∴$△ PQH≌△ QMO(AAS)$，
∴$QH=MO=2$，$PH=OQ$。
∵$m＜0$，
∴$P(m,-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4)$，$OH=-m$，$PH=-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4=OQ$，
由$OQ+QH=OH$得：$-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4+2=-m$，
整理得$2m^2-m-18=0$，解得$m=\frac{1\pm\sqrt{145}}{4}$，
∵$m＜0$，
∴$m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}$。
②当N落在x轴上时，如图2，过P作$PD⊥ x$轴于D。
同理可证$△ MON≌△ NDP(AAS)$，
∴$ND=MO=2$，$ON=PD$。
此时P在x轴下方，$PD=\frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4=ON$，$OD=-m$，
由$ON=ND+OD$得：$\frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4=2+(-m)$，
整理得$2m^2+5m-18=0$，解得$m=-\frac{9}{2}$或$m=2$，
∵$m＜0$，
∴$m=-\frac{9}{2}$。
综上，m的值为$\frac{1-\sqrt{145}}{4}$或$-\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4}$
(2)$\boldsymbol{(-1,4)}$
(3)$\boldsymbol{m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}}$或$\boldsymbol{m=-\frac{9}{2}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，平行线坐标特征，正方形与全等三角形
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，前两问属于基础考点，难度较低；第三问需要结合正方形性质分类讨论，通过构造全等三角形转化线段关系列方程求解，考查数形结合和分类讨论思想，解题时需注意坐标符号与线段长度的对应关系，避免符号错误。
【难度系数】
0.4
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，且解析式常数项已知，只需将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b即可确定解析式。
(2) AB在x轴上，若PC平行AB，则PC平行于x轴，因此点P与点C纵坐标相等，先求出C点坐标，再将P点纵坐标代入解析式求解横坐标，排除与C重合的点即可得到P的坐标。
(3) 分两种情况讨论：①顶点Q落在x轴上，②顶点N落在x轴上。两种情况均过P作x轴的垂线，利用正方形边相等、角为90°的性质证明构造的直角三角形全等，得到对应线段相等，再结合P点坐标（横坐标为m，纵坐标由解析式表示），根据线段长度关系列方程求解，最后根据m＜0的条件筛选结果。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$，$B(2,0)$代入$y=ax^2+bx+4$，得：
$\begin{cases} 0=9a-3b+4 \\ 0=4a+2b+4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3} \\ b=-\frac{2}{3} \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$。
(2) 在$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4$中，令$x=0$得$y=4$，
∴$C(0,4)$。
∵$PC// AB$，AB在x轴上，
∴点P纵坐标为4。
令$-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4=4$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，
$x=0$对应点C，舍去，
∴$P(-1,4)$。
(3)
∵M是OC中点，$OC=4$，
∴$M(0,2)$，分两种情况：
①当Q落在x轴上时，如图1，过P作$PH⊥ x$轴于H。
∵四边形PQMN是正方形，
∴$PQ=QM$，$∠ PQM=90°$，
∴$∠ PQH+∠ MQO=90°$，
又$∠ QMO+∠ MQO=90°$，
∴$∠ PQH=∠ QMO$，
又$∠ PHQ=∠ QOM=90°$，
∴$△ PQH≌△ QMO(AAS)$，
∴$QH=MO=2$，$PH=OQ$。
∵$m＜0$，
∴$P(m,-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4)$，$OH=-m$，$PH=-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4=OQ$，
由$OQ+QH=OH$得：$-\frac{2}{3}m^2-\frac{2}{3}m+4+2=-m$，
整理得$2m^2-m-18=0$，解得$m=\frac{1\pm\sqrt{145}}{4}$，
∵$m＜0$，
∴$m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}$。
②当N落在x轴上时，如图2，过P作$PD⊥ x$轴于D。
同理可证$△ MON≌△ NDP(AAS)$，
∴$ND=MO=2$，$ON=PD$。
此时P在x轴下方，$PD=\frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4=ON$，$OD=-m$，
由$ON=ND+OD$得：$\frac{2}{3}m^2+\frac{2}{3}m-4=2+(-m)$，
整理得$2m^2+5m-18=0$，解得$m=-\frac{9}{2}$或$m=2$，
∵$m＜0$，
∴$m=-\frac{9}{2}$。
综上，m的值为$\frac{1-\sqrt{145}}{4}$或$-\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{3}x+4}$
(2)$\boldsymbol{(-1,4)}$
(3)$\boldsymbol{m=\frac{1-\sqrt{145}}{4}}$或$\boldsymbol{m=-\frac{9}{2}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，平行线坐标特征，正方形与全等三角形
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，前两问属于基础考点，难度较低；第三问需要结合正方形性质分类讨论，通过构造全等三角形转化线段关系列方程求解，考查数形结合和分类讨论思想，解题时需注意坐标符号与线段长度的对应关系，避免符号错误。
【难度系数】
0.4