13.「2026重庆江津期中，★★☆」如图，二次函数$y=x^2+4x+3$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$A(-1,0),B(-4,3)$，则关于$x$的不等式$x^2+4x+3＜kx+b$的解集是
$-4＜x＜-1$
。答案：13.答案 $-4＜x＜-1$
解析 由图象可知,抛物线位于直线下方时对应自变量的取值范围为$-4＜x＜-1$,则关于 $x$ 的不等式 $x^2+4x+3＜kx+b$ 的解集为$-4＜x＜-1$.
解析 由图象可知,抛物线位于直线下方时对应自变量的取值范围为$-4＜x＜-1$,则关于 $x$ 的不等式 $x^2+4x+3＜kx+b$ 的解集为$-4＜x＜-1$.
解析：
【分析】
要解不等式$x^2+4x+3＜kx+b$，可转化为分析两个函数图像的位置关系：不等式的含义是二次函数$y=x^2+4x+3$的函数值小于一次函数$y=kx+b$的函数值，对应图像上就是抛物线位于直线下方的部分。首先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，是不等关系的分界点，再结合图像的上下位置就能确定对应$x$的取值范围。
【解析】
不等式$x^2+4x+3＜kx+b$的几何意义是：二次函数$y=x^2+4x+3$的图像在一次函数$y=kx+b$图像下方时自变量$x$的取值范围。
已知两个函数图像交于$A(-1,0)$、$B(-4,3)$两点，观察图像可得：当$-4＜x＜-1$时，抛物线位于直线下方，满足$x^2+4x+3＜kx+b$。
【答案】
$-4＜x＜-1$
【知识点】
函数与不等式的关系、二次函数图像性质、一次函数图像
【点评】
本题考查利用数形结合思想求解函数不等式，解题核心是理解函数值的大小关系对应图像的上下位置关系，掌握交点是不等关系的分界点，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.75
要解不等式$x^2+4x+3＜kx+b$，可转化为分析两个函数图像的位置关系：不等式的含义是二次函数$y=x^2+4x+3$的函数值小于一次函数$y=kx+b$的函数值，对应图像上就是抛物线位于直线下方的部分。首先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，是不等关系的分界点，再结合图像的上下位置就能确定对应$x$的取值范围。
【解析】
不等式$x^2+4x+3＜kx+b$的几何意义是：二次函数$y=x^2+4x+3$的图像在一次函数$y=kx+b$图像下方时自变量$x$的取值范围。
已知两个函数图像交于$A(-1,0)$、$B(-4,3)$两点，观察图像可得：当$-4＜x＜-1$时，抛物线位于直线下方，满足$x^2+4x+3＜kx+b$。
【答案】
$-4＜x＜-1$
【知识点】
函数与不等式的关系、二次函数图像性质、一次函数图像
【点评】
本题考查利用数形结合思想求解函数不等式，解题核心是理解函数值的大小关系对应图像的上下位置关系，掌握交点是不等关系的分界点，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.75
14.「2026湖北荆州松滋期中，★★」已知函数$y=\begin{cases}12(1≤ x≤ 3),\\(x-5)^2+8(3＜x≤ 8)\end{cases}$的图象如图所示，若直线$y=kx-3$与该图象有公共点，则$k$的取值范围是 ______ .
答案：14.答案 $2 ≤ k ≤ 15$
解析 当直线经过点$(1,12)$时,$12=k-3$,解得 $k=15$;当直线与抛物线只有一个公共点时,可得方程$(x-5)^2+8=kx-3$,整理得 $x^2-(10+k)x+36=0$,$\therefore \Delta=(10+k)^2-4 × 1 × 36=0$,解得 $k=2$ 或 $k=-22$(舍),$\therefore k$ 的最大值是 15,最小值是 2,$\therefore 2 ≤ k ≤ 15$.
解析 当直线经过点$(1,12)$时,$12=k-3$,解得 $k=15$;当直线与抛物线只有一个公共点时,可得方程$(x-5)^2+8=kx-3$,整理得 $x^2-(10+k)x+36=0$,$\therefore \Delta=(10+k)^2-4 × 1 × 36=0$,解得 $k=2$ 或 $k=-22$(舍),$\therefore k$ 的最大值是 15,最小值是 2,$\therefore 2 ≤ k ≤ 15$.
解析：
【分析】
要确定直线$y=kx-3$与给定分段函数图象有公共点时$k$的取值范围，需分析两个临界情况：一是直线与分段函数的水平线段段（$1≤x≤3，y=12$）相交的临界，当直线经过线段左端点$(1,12)$时$k$取得最大值；二是直线与抛物线段（$3＜x≤8$）相交的临界，当直线与抛物线刚好相切（只有一个公共点）时$k$取得最小值，联立方程后利用一元二次方程判别式求解，再舍去不符合自变量取值范围的解，最终即可得到$k$的取值范围。
【解析】
① 当直线经过水平线段的左端点$(1,12)$时，将$x=1，y=12$代入$y=kx-3$得：
$12 = k×1 - 3$，解得$k=15$，此时$k$为满足条件的最大值。
② 当直线与抛物线$y=(x-5)^2+8$（$3＜x≤8$）只有一个公共点（相切）时，联立两个解析式：
$(x-5)^2+8 = kx-3$
整理得：$x^2 - (10+k)x + 36 = 0$
此时一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(10+k)^2 - 4×1×36 = 0$
解得$k_1=2$，$k_2=-22$
当$k=-22$时，代入方程解得$x=-6$，不在$3＜x≤8$的范围内，不符合题意，舍去；
当$k=2$时，解得$x=6$，在$3＜x≤8$的范围内，符合题意，此时$k$为满足条件的最小值。
综上，$k$的取值范围是$2≤k≤15$。
【答案】
$2 ≤ k ≤ 15$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题解题的关键是找准两个临界情况：直线经过水平线段端点、直线与抛物线相切，求解过程中要注意结合自变量的取值范围对得到的参数值进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
要确定直线$y=kx-3$与给定分段函数图象有公共点时$k$的取值范围，需分析两个临界情况：一是直线与分段函数的水平线段段（$1≤x≤3，y=12$）相交的临界，当直线经过线段左端点$(1,12)$时$k$取得最大值；二是直线与抛物线段（$3＜x≤8$）相交的临界，当直线与抛物线刚好相切（只有一个公共点）时$k$取得最小值，联立方程后利用一元二次方程判别式求解，再舍去不符合自变量取值范围的解，最终即可得到$k$的取值范围。
【解析】
① 当直线经过水平线段的左端点$(1,12)$时，将$x=1，y=12$代入$y=kx-3$得：
$12 = k×1 - 3$，解得$k=15$，此时$k$为满足条件的最大值。
② 当直线与抛物线$y=(x-5)^2+8$（$3＜x≤8$）只有一个公共点（相切）时，联立两个解析式：
$(x-5)^2+8 = kx-3$
整理得：$x^2 - (10+k)x + 36 = 0$
此时一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(10+k)^2 - 4×1×36 = 0$
解得$k_1=2$，$k_2=-22$
当$k=-22$时，代入方程解得$x=-6$，不在$3＜x≤8$的范围内，不符合题意，舍去；
当$k=2$时，解得$x=6$，在$3＜x≤8$的范围内，符合题意，此时$k$为满足条件的最小值。
综上，$k$的取值范围是$2≤k≤15$。
【答案】
$2 ≤ k ≤ 15$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题解题的关键是找准两个临界情况：直线经过水平线段端点、直线与抛物线相切，求解过程中要注意结合自变量的取值范围对得到的参数值进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共44分)
15.「2026浙江台州期中，★☆」(10分)已知二次函数$y=-x^2+2x+2$.
(1)填写表中空格处的数值.
(2)根据表格，在图中画出这个二次函数的图象.
(3)当$-1＜x＜2$时，求$y$的取值范围.
15.「2026浙江台州期中，★☆」(10分)已知二次函数$y=-x^2+2x+2$.
(1)填写表中空格处的数值.
(2)根据表格，在图中画出这个二次函数的图象.
(3)当$-1＜x＜2$时，求$y$的取值范围.
答案：
15.解析 (1)$-1$;$3$.
(2)如图.
(3)$-1＜y ≤ 3$.
15.解析 (1)$-1$;$3$.
(2)如图.
(3)$-1＜y ≤ 3$.
解析：
【分析】
本题围绕二次函数的基础应用展开，解题思路如下：
(1) 求表中数值：直接将对应的x值代入二次函数解析式，计算即可得到y的值；
(2) 画函数图象：采用描点法，先把已知的点在坐标系中标记出来，再用平滑的抛物线顺次连接各点即可，注意二次函数图象是连续的曲线；
(3) 求指定区间内y的取值范围：先分析二次函数的开口方向、对称轴，判断函数在区间内的增减性，找到区间内的最大值，再对比区间端点处的函数值，确定y的取值范围。
【解析】
(1) 当$x=-1$时，代入解析式$y=-x^2+2x+2$得：
$y=-(-1)^2+2×(-1)+2=-1-2+2=-1$；
当$x=1$时，代入解析式得：
$y=-1^2+2×1+2=-1+2+2=3$，
因此空格处依次填$-1$、$3$。
(2) 先在坐标系中描出$(-1,-1)$、$(0,2)$、$(1,3)$、$(2,2)$、$(3,-1)$这几个点，再用平滑的曲线顺次连接这些点，即可得到该二次函数的图象。
(3) 二次函数$y=-x^2+2x+2$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，因此当$x=1$时，函数取得最大值$y_{max}=3$；
在区间$-1＜x＜2$内：当$-1＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$1＜x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，
且$x=-1$时$y=-1$，$x=2$时$y=-2^2+2×2+2=2$，因此在$-1＜x＜2$范围内，$y$的最小值大于$-1$，最大值为$3$。
【答案】
(1) $-1$；$3$
(2)
(3) $-1＜y ≤ 3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；描点法画函数图象
【点评】
本题属于二次函数的基础考察题，覆盖了二次函数的代值计算、图象绘制和区间取值分析三类基础考点，解题的关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴的判断方法，结合增减性分析函数值的范围。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数的基础应用展开，解题思路如下：
(1) 求表中数值：直接将对应的x值代入二次函数解析式，计算即可得到y的值；
(2) 画函数图象：采用描点法，先把已知的点在坐标系中标记出来，再用平滑的抛物线顺次连接各点即可，注意二次函数图象是连续的曲线；
(3) 求指定区间内y的取值范围：先分析二次函数的开口方向、对称轴，判断函数在区间内的增减性，找到区间内的最大值，再对比区间端点处的函数值，确定y的取值范围。
【解析】
(1) 当$x=-1$时，代入解析式$y=-x^2+2x+2$得：
$y=-(-1)^2+2×(-1)+2=-1-2+2=-1$；
当$x=1$时，代入解析式得：
$y=-1^2+2×1+2=-1+2+2=3$，
因此空格处依次填$-1$、$3$。
(2) 先在坐标系中描出$(-1,-1)$、$(0,2)$、$(1,3)$、$(2,2)$、$(3,-1)$这几个点，再用平滑的曲线顺次连接这些点，即可得到该二次函数的图象。
(3) 二次函数$y=-x^2+2x+2$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，因此当$x=1$时，函数取得最大值$y_{max}=3$；
在区间$-1＜x＜2$内：当$-1＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$1＜x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，
且$x=-1$时$y=-1$，$x=2$时$y=-2^2+2×2+2=2$，因此在$-1＜x＜2$范围内，$y$的最小值大于$-1$，最大值为$3$。
【答案】
(1) $-1$；$3$
(2)
(3) $-1＜y ≤ 3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；描点法画函数图象
【点评】
本题属于二次函数的基础考察题，覆盖了二次函数的代值计算、图象绘制和区间取值分析三类基础考点，解题的关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴的判断方法，结合增减性分析函数值的范围。
【难度系数】
0.7