18.「2026广西贵港覃塘期中，★★☆」(14分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=-x+4$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于$A(1,n)$,$B$两点,与$x$轴交于点$C$.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)当$-x+4＞\frac{k}{x}$时,求$x$的取值范围.
(3)点$P$是$x$轴上一点,若$△ ABP$的面积为6,求点$P$的坐标.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)当$-x+4＞\frac{k}{x}$时,求$x$的取值范围.
(3)点$P$是$x$轴上一点,若$△ ABP$的面积为6,求点$P$的坐标.
答案：解析 (1)把 $A(1,n)$ 代入 $y=-x+4$,得 $n=-1+4=3$,
∴ $A(1,3)$,把 $A(1,3)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=1×3=3$,
∴ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{x}$.
(2)当 $-x+4=\frac{3}{x}$ 时,整理得 $x^2-4x+3=0$,
解得 $x=3$ 或 $x=1$,经检验,$x=3$ 和 $x=1$ 都是原方程的解,
∴ $A(1,3)$,$B(3,1)$,
由题图可得当 $x＜0$ 或 $1＜x＜3$ 时,直线 $y=-x+4$ 在双曲线 $y=\frac{3}{x}$ 的上方,
∴ x 的取值范围是 $x＜0$ 或 $1＜x＜3$.
(3)在 $y=-x+4$ 中,令 $y=0$,解得 $x=4$,
∴ $C(4,0)$,设 $P(p,0)$,
由题意得 $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×|4-p|×3-\frac{1}{2}×|4-p|×1=6$,
∴ $|4-p|=6$,
∴ $p=10$ 或 $p=-2$,
∴ 点 P 的坐标为 $(10,0)$ 或 $(-2,0)$.
∴ $A(1,3)$,把 $A(1,3)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=1×3=3$,
∴ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{x}$.
(2)当 $-x+4=\frac{3}{x}$ 时,整理得 $x^2-4x+3=0$,
解得 $x=3$ 或 $x=1$,经检验,$x=3$ 和 $x=1$ 都是原方程的解,
∴ $A(1,3)$,$B(3,1)$,
由题图可得当 $x＜0$ 或 $1＜x＜3$ 时,直线 $y=-x+4$ 在双曲线 $y=\frac{3}{x}$ 的上方,
∴ x 的取值范围是 $x＜0$ 或 $1＜x＜3$.
(3)在 $y=-x+4$ 中,令 $y=0$,解得 $x=4$,
∴ $C(4,0)$,设 $P(p,0)$,
由题意得 $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×|4-p|×3-\frac{1}{2}×|4-p|×1=6$,
∴ $|4-p|=6$,
∴ $p=10$ 或 $p=-2$,
∴ 点 P 的坐标为 $(10,0)$ 或 $(-2,0)$.
解析：
【分析】
(1) 要确定反比例函数解析式，需先求点A的坐标：点A在一次函数图象上，将A的横坐标代入一次函数解析式即可求出纵坐标n，再将A点坐标代入反比例函数解析式求出k值即可。
(2) 求一次函数值大于反比例函数值的x范围，需先联立两个函数解析式求出交点A、B的横坐标，再结合函数图象，分区间判断直线在双曲线上方时对应的x取值，注意不要遗漏x＜0的区间。
(3) 计算△ABP的面积时，先求出一次函数与x轴的交点C坐标，设P点坐标为(p,0)，△ABP的面积可转化为△ACP与△BCP的面积差，两个三角形同底为PC的长度|4-p|，高分别为A、B两点的纵坐标，据此列方程求解绝对值方程即可得到P点坐标，注意绝对值方程有两个解不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(1,n)$代入一次函数$y=-x+4$，得：
$n = -1 + 4 = 3$
∴点A的坐标为$(1,3)$
将$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k = 1×3 = 3$
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 联立一次函数与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=-x+4\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
整理得$x^2 -4x +3=0$，解得$x=1$或$x=3$，经检验均为原方程的解
∴点B的坐标为$(3,1)$
结合图象可得：当$x＜0$或$1＜x＜3$时，直线$y=-x+4$在双曲线$y=\frac{3}{x}$的上方，即$-x+4＞\frac{k}{x}$
∴x的取值范围是$x＜0$或$1＜x＜3$。
(3) 在一次函数$y=-x+4$中，令$y=0$，解得$x=4$，
∴点C坐标为$(4,0)$
设点P的坐标为$(p,0)$，则PC的长度为$|4-p|$
$△ ABP$的面积 = $△ ACP$的面积 - $△ BCP$的面积，即：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|4-p|×3 - \frac{1}{2}×|4-p|×1 =6$
化简得$|4-p|=6$
解得$4-p=6$或$4-p=-6$，即$p=-2$或$p=10$
∴点P的坐标为$(10,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{x}$
(2) $x＜0$或$1＜x＜3$
(3) $(10,0)$或$(-2,0)$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，利用函数图象解不等式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常见综合题型，核心考察函数解析式的求解、数形结合思想的应用，以及坐标系中图形面积的计算，解题时要注意结合图象分类讨论，求解绝对值方程时不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定反比例函数解析式，需先求点A的坐标：点A在一次函数图象上，将A的横坐标代入一次函数解析式即可求出纵坐标n，再将A点坐标代入反比例函数解析式求出k值即可。
(2) 求一次函数值大于反比例函数值的x范围，需先联立两个函数解析式求出交点A、B的横坐标，再结合函数图象，分区间判断直线在双曲线上方时对应的x取值，注意不要遗漏x＜0的区间。
(3) 计算△ABP的面积时，先求出一次函数与x轴的交点C坐标，设P点坐标为(p,0)，△ABP的面积可转化为△ACP与△BCP的面积差，两个三角形同底为PC的长度|4-p|，高分别为A、B两点的纵坐标，据此列方程求解绝对值方程即可得到P点坐标，注意绝对值方程有两个解不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(1,n)$代入一次函数$y=-x+4$，得：
$n = -1 + 4 = 3$
∴点A的坐标为$(1,3)$
将$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k = 1×3 = 3$
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 联立一次函数与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=-x+4\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
整理得$x^2 -4x +3=0$，解得$x=1$或$x=3$，经检验均为原方程的解
∴点B的坐标为$(3,1)$
结合图象可得：当$x＜0$或$1＜x＜3$时，直线$y=-x+4$在双曲线$y=\frac{3}{x}$的上方，即$-x+4＞\frac{k}{x}$
∴x的取值范围是$x＜0$或$1＜x＜3$。
(3) 在一次函数$y=-x+4$中，令$y=0$，解得$x=4$，
∴点C坐标为$(4,0)$
设点P的坐标为$(p,0)$，则PC的长度为$|4-p|$
$△ ABP$的面积 = $△ ACP$的面积 - $△ BCP$的面积，即：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|4-p|×3 - \frac{1}{2}×|4-p|×1 =6$
化简得$|4-p|=6$
解得$4-p=6$或$4-p=-6$，即$p=-2$或$p=10$
∴点P的坐标为$(10,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{x}$
(2) $x＜0$或$1＜x＜3$
(3) $(10,0)$或$(-2,0)$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，利用函数图象解不等式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常见综合题型，核心考察函数解析式的求解、数形结合思想的应用，以及坐标系中图形面积的计算，解题时要注意结合图象分类讨论，求解绝对值方程时不要漏解。
【难度系数】
0.7