17.「★★☆」如图，△ABC中，∠BAC=60°, BC=3,内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,连接BD,若∠ABD=45°,则AI=
√6-√3
。答案：
17.答案 √6-√3
解析 如图,设△ABC 的外接圆的圆心为 O,连接 AO,BO,DO,BI,DO 交 BC 于 E.
∵ △ABC 的内心为 I,
∴ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=30°,
∴ ∠BOD=2∠BAD=60°,
∵ OB=OD,
∴ △OBD 是等边三角形,
∴ DB=OD=OB=OA.
∵ ∠BAD=∠CAD,
∴ ⌢BD=⌢CD,
∴ OD ⊥ BC,BE=CE=1/2 BC=3/2,
∵ ∠CBD=∠CAD=30°,
∴ DE=1/2 BD,在 Rt△BDE 中,DE²+BE²=BD²,即(1/2 BD)²+(3/2)²=BD²,解得 DB=√3(负值舍去).
∵ I 是△ABC 的内心,
∴ ∠IBA=∠CBI,
∵ ∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠IAB+∠IBA,
∴ ∠DBI=∠DIB,
∴ DI=DB=√3,
∵ ∠ABD=45°,
∴ ∠AOD=2∠ABD=90°,
∵ OA=OD=DB=√3,
∴ AD=√2 OA=√6,
∴ AI=AD-DI=√6-√3.
17.答案 √6-√3
解析 如图,设△ABC 的外接圆的圆心为 O,连接 AO,BO,DO,BI,DO 交 BC 于 E.
∵ △ABC 的内心为 I,
∴ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=30°,
∴ ∠BOD=2∠BAD=60°,
∵ OB=OD,
∴ △OBD 是等边三角形,
∴ DB=OD=OB=OA.
∵ ∠BAD=∠CAD,
∴ ⌢BD=⌢CD,
∴ OD ⊥ BC,BE=CE=1/2 BC=3/2,
∵ ∠CBD=∠CAD=30°,
∴ DE=1/2 BD,在 Rt△BDE 中,DE²+BE²=BD²,即(1/2 BD)²+(3/2)²=BD²,解得 DB=√3(负值舍去).
∵ I 是△ABC 的内心,
∴ ∠IBA=∠CBI,
∵ ∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠IAB+∠IBA,
∴ ∠DBI=∠DIB,
∴ DI=DB=√3,
∵ ∠ABD=45°,
∴ ∠AOD=2∠ABD=90°,
∵ OA=OD=DB=√3,
∴ AD=√2 OA=√6,
∴ AI=AD-DI=√6-√3.
解析：
【分析】
解题可按以下思路推导：①已知I是△ABC的内心，由内心的性质可得AD平分∠BAC，结合∠BAC=60°得∠BAD=30°；②根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=60°，推出△OBD为等边三角形；③由∠BAD=∠CAD可得弧BD与弧CD相等，结合垂径定理得OD垂直平分BC，已知BC=3，在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出BD的长度；④再根据内心是角平分线的交点，推导角的等量关系证明∠DBI=∠DIB，得到DI=BD；⑤结合∠ABD=45°可得对应的圆心角∠AOD=90°，在等腰直角△AOD中求出AD的长度，最后由AI=AD-DI即可算出结果。
【解析】
设△ABC的外接圆的圆心为O，连接AO，BO，DO，BI，DO交BC于E。
∵ △ABC的内心为I，
∴ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD=½∠BAC=30°，
∴ ∠BOD=2∠BAD=60°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
又
∵ OB=OD，
∴ △OBD是等边三角形，
∴ DB=OD=OB=OA。
∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ⌢BD=⌢CD，
∴ OD⊥BC，BE=CE=½BC=3/2（垂径定理），
∵ ∠CBD=∠CAD=30°（同弧所对的圆周角相等），
∴ 在Rt△BDE中，DE=½BD，
由勾股定理得：DE²+BE²=BD²，即(½BD)²+(3/2)²=BD²，
解得DB=√3（负值舍去）。
∵ I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，即∠IBA=∠CBI，
∵ ∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠IAB+∠IBA（三角形外角的性质），且∠DBC=∠IAB=30°，
∴ ∠DBI=∠DIB，
∴ DI=DB=√3。
∵ ∠ABD=45°，
∴ ∠AOD=2∠ABD=90°，
又
∵ OA=OD=√3，
∴ 在Rt△AOD中，AD=√(OA²+OD²)=√2×√3=√6，
∴ AI=AD-DI=√6-√3。
【答案】
√6-√3
【知识点】
三角形内心性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题综合了圆的相关性质与三角形内心的知识点，需要通过角的等量关系推导线段相等，结合勾股定理求解线段长度，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路推导：①已知I是△ABC的内心，由内心的性质可得AD平分∠BAC，结合∠BAC=60°得∠BAD=30°；②根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=60°，推出△OBD为等边三角形；③由∠BAD=∠CAD可得弧BD与弧CD相等，结合垂径定理得OD垂直平分BC，已知BC=3，在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出BD的长度；④再根据内心是角平分线的交点，推导角的等量关系证明∠DBI=∠DIB，得到DI=BD；⑤结合∠ABD=45°可得对应的圆心角∠AOD=90°，在等腰直角△AOD中求出AD的长度，最后由AI=AD-DI即可算出结果。
【解析】
设△ABC的外接圆的圆心为O，连接AO，BO，DO，BI，DO交BC于E。
∵ △ABC的内心为I，
∴ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD=½∠BAC=30°，
∴ ∠BOD=2∠BAD=60°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
又
∵ OB=OD，
∴ △OBD是等边三角形，
∴ DB=OD=OB=OA。
∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ⌢BD=⌢CD，
∴ OD⊥BC，BE=CE=½BC=3/2（垂径定理），
∵ ∠CBD=∠CAD=30°（同弧所对的圆周角相等），
∴ 在Rt△BDE中，DE=½BD，
由勾股定理得：DE²+BE²=BD²，即(½BD)²+(3/2)²=BD²，
解得DB=√3（负值舍去）。
∵ I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，即∠IBA=∠CBI，
∵ ∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠IAB+∠IBA（三角形外角的性质），且∠DBC=∠IAB=30°，
∴ ∠DBI=∠DIB，
∴ DI=DB=√3。
∵ ∠ABD=45°，
∴ ∠AOD=2∠ABD=90°，
又
∵ OA=OD=√3，
∴ 在Rt△AOD中，AD=√(OA²+OD²)=√2×√3=√6，
∴ AI=AD-DI=√6-√3。
【答案】
√6-√3
【知识点】
三角形内心性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题综合了圆的相关性质与三角形内心的知识点，需要通过角的等量关系推导线段相等，结合勾股定理求解线段长度，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
18.「2026江苏常州武进模拟，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),K(2,0),A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为
(3,-1)
。答案：
18.答案 (3,-1)
解析 如图,作 BH ⊥ x 轴于 H.
∵ C(0,4),K(2,0),
∴ OC=4,OK=2,由旋转的性质可知 AC = AB,∠CAB = 90°,
∴ ∠BAH + ∠CAO = 90°,
∵ ∠AOC = ∠AHB = 90°,
∴ ∠CAO+∠OCA=90°,
∴ ∠ACO=∠BAH,
∴ △ACO ≅ △BAH (AAS),
∴ BH=OA,AH=OC=4,设 BH=OA=m,
∴ B(m+4,m),令 x=m+4,y=m,
∴ y=x-4,
∴ 点 B 在直线 y=x-4 上运动,设直线 y=x-4 交 x 轴于 E,交 y 轴于 F,当 x=0 时,y=-4,当 y=0 时,x=4,
∴ E(4,0),F(0,-4),画出直线 EF,过 K 作 KM ⊥ EF 于 M,根据垂线段最短可知,当点 B 与点 M 重合时,BK 的值最小,
∵ OE=OF=4,
∴ ∠OEF=45°,
∴ △KME 为等腰直角三角形,
∴ KM=EM,
∵ EK=OE-OK=2,KM²+EM²=EK²,
∴ KM=EM=√2,过 M 作 MN ⊥ OE 于 N,
∵ ∠EKM=45°,
∴ KN=MN=1,
∴ 点 M 的坐标为(2+1,-1),即(3,-1),
∴ 点 B 的坐标为(3,-1).
18.答案 (3,-1)
解析 如图,作 BH ⊥ x 轴于 H.
∵ C(0,4),K(2,0),
∴ OC=4,OK=2,由旋转的性质可知 AC = AB,∠CAB = 90°,
∴ ∠BAH + ∠CAO = 90°,
∵ ∠AOC = ∠AHB = 90°,
∴ ∠CAO+∠OCA=90°,
∴ ∠ACO=∠BAH,
∴ △ACO ≅ △BAH (AAS),
∴ BH=OA,AH=OC=4,设 BH=OA=m,
∴ B(m+4,m),令 x=m+4,y=m,
∴ y=x-4,
∴ 点 B 在直线 y=x-4 上运动,设直线 y=x-4 交 x 轴于 E,交 y 轴于 F,当 x=0 时,y=-4,当 y=0 时,x=4,
∴ E(4,0),F(0,-4),画出直线 EF,过 K 作 KM ⊥ EF 于 M,根据垂线段最短可知,当点 B 与点 M 重合时,BK 的值最小,
∵ OE=OF=4,
∴ ∠OEF=45°,
∴ △KME 为等腰直角三角形,
∴ KM=EM,
∵ EK=OE-OK=2,KM²+EM²=EK²,
∴ KM=EM=√2,过 M 作 MN ⊥ OE 于 N,
∵ ∠EKM=45°,
∴ KN=MN=1,
∴ 点 M 的坐标为(2+1,-1),即(3,-1),
∴ 点 B 的坐标为(3,-1).
解析：
【分析】
本题属于动点最值问题，解题思路如下：首先，由AC旋转90°得到AB，可知AC=AB且∠CAB=90°，符合一线三等角全等模型的特征，因此过B作x轴的垂线，可证明△ACO和△BAH全等，将B点坐标用A点的参数表示；其次，消去参数得到B点的运动轨迹为一条定直线；最后根据“垂线段最短”，找到点K到这条直线的垂足，即为BK最小时点B的位置，计算该点坐标即可。
【解析】
如图，作 $ BH ⊥ x $ 轴于 $ H $。
∵ $ C(0,4) $，$ K(2,0) $，
∴ $ OC=4 $，$ OK=2 $。
由旋转的性质可知 $ AC = AB $，$ ∠ CAB = 90° $，
∴ $ ∠ BAH + ∠ CAO = 90° $。
∵ $ ∠ AOC = ∠ AHB = 90° $，
∴ $ ∠ CAO+∠ OCA=90° $，
∴ $ ∠ ACO=∠ BAH $，
∴ $ △ ACO ≌ △ BAH \ (\mathrm{AAS}) $，
∴ $ BH=OA $，$ AH=OC=4 $。
设 $ BH=OA=m $，则 $ OH=OA+AH=m+4 $，
∴ $ B(m+4,m) $。
令 $ x=m+4 $，$ y=m $，消去参数$ m $得 $ y=x-4 $，即点B在直线 $ y=x-4 $ 上运动。
设直线 $ y=x-4 $ 交x轴于E，交y轴于F，代入计算得 $ E(4,0) $，$ F(0,-4) $。
过K作 $ KM ⊥ EF $ 于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小。
∵ $ OE=OF=4 $，$ ∠ EOF=90° $，
∴ $ ∠ OEF=45° $，即$ △ KME $ 为等腰直角三角形。
∵ $ EK=OE-OK=4-2=2 $，
∴ 等腰直角$ △ KME $中，斜边$ EK=2 $，过M作 $ MN ⊥ x $ 轴于N，可得 $ MN=KN=1 $，
∴ M点横坐标为 $ 2+1=3 $，纵坐标为 $ -1 $，即 $ M(3,-1) $。
【答案】
$\boxed{(3,-1)}$
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.垂线段最短
【点评】
本题是几何动点与最值结合的综合题，解题核心是通过构造全等三角形确定动点的运动轨迹，将动态最值问题转化为点到直线的距离问题，考查了数形结合思想与转化思想，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于动点最值问题，解题思路如下：首先，由AC旋转90°得到AB，可知AC=AB且∠CAB=90°，符合一线三等角全等模型的特征，因此过B作x轴的垂线，可证明△ACO和△BAH全等，将B点坐标用A点的参数表示；其次，消去参数得到B点的运动轨迹为一条定直线；最后根据“垂线段最短”，找到点K到这条直线的垂足，即为BK最小时点B的位置，计算该点坐标即可。
【解析】
如图，作 $ BH ⊥ x $ 轴于 $ H $。
∵ $ C(0,4) $，$ K(2,0) $，
∴ $ OC=4 $，$ OK=2 $。
由旋转的性质可知 $ AC = AB $，$ ∠ CAB = 90° $，
∴ $ ∠ BAH + ∠ CAO = 90° $。
∵ $ ∠ AOC = ∠ AHB = 90° $，
∴ $ ∠ CAO+∠ OCA=90° $，
∴ $ ∠ ACO=∠ BAH $，
∴ $ △ ACO ≌ △ BAH \ (\mathrm{AAS}) $，
∴ $ BH=OA $，$ AH=OC=4 $。
设 $ BH=OA=m $，则 $ OH=OA+AH=m+4 $，
∴ $ B(m+4,m) $。
令 $ x=m+4 $，$ y=m $，消去参数$ m $得 $ y=x-4 $，即点B在直线 $ y=x-4 $ 上运动。
设直线 $ y=x-4 $ 交x轴于E，交y轴于F，代入计算得 $ E(4,0) $，$ F(0,-4) $。
过K作 $ KM ⊥ EF $ 于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小。
∵ $ OE=OF=4 $，$ ∠ EOF=90° $，
∴ $ ∠ OEF=45° $，即$ △ KME $ 为等腰直角三角形。
∵ $ EK=OE-OK=4-2=2 $，
∴ 等腰直角$ △ KME $中，斜边$ EK=2 $，过M作 $ MN ⊥ x $ 轴于N，可得 $ MN=KN=1 $，
∴ M点横坐标为 $ 2+1=3 $，纵坐标为 $ -1 $，即 $ M(3,-1) $。
【答案】
$\boxed{(3,-1)}$
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.垂线段最短
【点评】
本题是几何动点与最值结合的综合题，解题核心是通过构造全等三角形确定动点的运动轨迹，将动态最值问题转化为点到直线的距离问题，考查了数形结合思想与转化思想，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共66分)[答案含评分细则]
19.「2026河北廊坊月考改编，★☆」(9分)用指定的方法解下列方程：
(1)$x^2 -4x -7=0$(配方法).
(2)$2x^2 -5x +2=0$(公式法).
(3)$(x-3)^2 +2x(x-3)=0$(因式分解法).
19.「2026河北廊坊月考改编，★☆」(9分)用指定的方法解下列方程：
(1)$x^2 -4x -7=0$(配方法).
(2)$2x^2 -5x +2=0$(公式法).
(3)$(x-3)^2 +2x(x-3)=0$(因式分解法).
答案：19.解析 (1)移项,得x²-4x=7,配方,得x²-4x+4=11,即(x-2)²=11,………………………… (1分)
直接开平方,得x-2=±√11,……………… (2分)
解得x₁=2-√11,x₂=2+√11. …………… (3分)
(2)
∵ a=2,b=-5,c=2,
∴ Δ=b²-4ac=(-5)²-4×2×2=9＞0,
∴ 方程有两个不相等的实数根,………… (4分)
∴ x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(5±3)/4, ……… (5分)
解得x₁=1/2,x₂=2. …………………… (6分)
(3)因式分解,得(x-3+2x)(x-3)=0,即3(x-1)(x-3)=0, …………………… (7分)
∴ x-1=0 或 x-3=0, ………………… (8分)
解得x₁=1,x₂=3.……………………… (9分)
直接开平方,得x-2=±√11,……………… (2分)
解得x₁=2-√11,x₂=2+√11. …………… (3分)
(2)
∵ a=2,b=-5,c=2,
∴ Δ=b²-4ac=(-5)²-4×2×2=9＞0,
∴ 方程有两个不相等的实数根,………… (4分)
∴ x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(5±3)/4, ……… (5分)
解得x₁=1/2,x₂=2. …………………… (6分)
(3)因式分解,得(x-3+2x)(x-3)=0,即3(x-1)(x-3)=0, …………………… (7分)
∴ x-1=0 或 x-3=0, ………………… (8分)
解得x₁=1,x₂=3.……………………… (9分)
解析：
【分析】
这道题考查一元二次方程的三种指定解法，解题思路如下：
(1)配方法：先将常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后直接开平方求解即可；
(2)公式法：先确定一元二次方程一般式中a、b、c的取值，代入判别式Δ=b²-4ac判断根的情况，若Δ≥0，再代入求根公式计算方程的根；
(3)因式分解法：观察方程发现两项都含有公因式(x-3)，先提取公因式将方程化为两个一次因式乘积为0的形式，再令每个因式等于0，分别求解即可。
【解析】
(1)移项，得$x^2-4x=7$，配方，得$x^2-4x+4=11$，即$(x-2)^2=11$，
直接开平方，得$x-2=\pm\sqrt{11}$，
解得$x_1=2-\sqrt{11},x_2=2+\sqrt{11}$。
(2)
∵ $a=2,b=-5,c=2$，
∴ $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×2=9＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$。
(3)因式分解，得$(x-3+2x)(x-3)=0$，即$3(x-1)(x-3)=0$，
∴ $x-1=0$ 或 $x-3=0$，
解得$x_1=1,x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{11},x_2=2-\sqrt{11}$
(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=2$
(3) $x_1=1,x_2=3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，分别对应三种常用的解方程方法，解题时需严格遵循每种方法的操作步骤，避免出现配方错误、公式代入错误、公因式提取错误等问题。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程的三种指定解法，解题思路如下：
(1)配方法：先将常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后直接开平方求解即可；
(2)公式法：先确定一元二次方程一般式中a、b、c的取值，代入判别式Δ=b²-4ac判断根的情况，若Δ≥0，再代入求根公式计算方程的根；
(3)因式分解法：观察方程发现两项都含有公因式(x-3)，先提取公因式将方程化为两个一次因式乘积为0的形式，再令每个因式等于0，分别求解即可。
【解析】
(1)移项，得$x^2-4x=7$，配方，得$x^2-4x+4=11$，即$(x-2)^2=11$，
直接开平方，得$x-2=\pm\sqrt{11}$，
解得$x_1=2-\sqrt{11},x_2=2+\sqrt{11}$。
(2)
∵ $a=2,b=-5,c=2$，
∴ $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×2=9＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$。
(3)因式分解，得$(x-3+2x)(x-3)=0$，即$3(x-1)(x-3)=0$，
∴ $x-1=0$ 或 $x-3=0$，
解得$x_1=1,x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{11},x_2=2-\sqrt{11}$
(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=2$
(3) $x_1=1,x_2=3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，分别对应三种常用的解方程方法，解题时需严格遵循每种方法的操作步骤，避免出现配方错误、公式代入错误、公因式提取错误等问题。
【难度系数】
0.8