20.「★☆」(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁.
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂,并写出点C₂的坐标.
(3)在(2)的条件下,求点B旋转到点B₂的过程中所经过的路径长.
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁.
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂,并写出点C₂的坐标.
(3)在(2)的条件下,求点B旋转到点B₂的过程中所经过的路径长.
答案：
20.解析 (1)如图,△A₁B₁C₁ 即为所求. …… (1分)
(2)如图,△A₂B₂C₂ 即为所求. ………… (3分)
点 C₂ 的坐标为(3,1).…………………… (4分)
(3)如图,点 B 旋转到点 B₂ 的过程中所经过的路径长为⌢BB₂的长,
∵ B(-2,1),
∴ OB=√(1²+2²)=√5,由旋转的性质得∠B₂OB=90°,OB₂=OB=√5,
∴ 点 B 旋转到点 B₂ 的过程中所经过的路径长为(90π×√5)/180=√5 π/2. ……………… (6分)
20.解析 (1)如图,△A₁B₁C₁ 即为所求. …… (1分)
(2)如图,△A₂B₂C₂ 即为所求. ………… (3分)
点 C₂ 的坐标为(3,1).…………………… (4分)
(3)如图,点 B 旋转到点 B₂ 的过程中所经过的路径长为⌢BB₂的长,
∵ B(-2,1),
∴ OB=√(1²+2²)=√5,由旋转的性质得∠B₂OB=90°,OB₂=OB=√5,
∴ 点 B 旋转到点 B₂ 的过程中所经过的路径长为(90π×√5)/180=√5 π/2. ……………… (6分)
解析：
【分析】
本题分三个小问，解题思路如下：
(1)作关于x轴对称的三角形，首先利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律，先求出△ABC三个顶点关于x轴的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁。
(2)作绕原点顺时针旋转90°的三角形，先掌握“平面内点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后对应点的坐标为(y,-x)”的变换规律，求出三个顶点旋转后的坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂，直接读出C₂的坐标即可。
(3)求点B旋转的路径长，首先明确旋转过程中点的运动轨迹是圆弧：圆心为旋转中心O，半径为OB的长度，圆心角等于旋转角90°。先利用勾股定理求出OB的长度，再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径）计算即可得到路径长。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此A(-3,5)的对称点A₁(-3,-5)，B(-2,1)的对称点B₁(-2,-1)，C(-1,3)的对称点C₁(-1,-3)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 点(x,y)绕原点O顺时针旋转90°后对应点坐标为(y,-x)，因此：
A(-3,5)旋转后对应点A₂(5,3)，B(-2,1)旋转后对应点B₂(1,2)，C(-1,3)旋转后对应点C₂(3,1)，依次连接A₂、B₂、C₂得到△A₂B₂C₂，可得C₂坐标为(3,1)。
(3) 点B旋转到B₂的路径为以O为圆心，OB为半径，圆心角为90°的弧$\overset{\frown}{BB_2}$：
首先计算OB的长度，由B(-2,1)，根据勾股定理得$OB=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}$；
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中n=90°，r=OB=$\sqrt{5}$，代入得：
路径长$l=\frac{90π×\sqrt{5}}{180}=\frac{\sqrt{5}π}{2}$。
【答案】
(1)如图，△A₁B₁C₁ 即为所求。
(2)如图，△A₂B₂C₂ 即为所求，点C₂的坐标为(3,1)。
(3)点B旋转到点B₂的过程中所经过的路径长为$\frac{\sqrt{5}π}{2}$。
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；图形的旋转变换；弧长计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何变换的基础题，结合了作图与计算，既考查了轴对称、旋转变换的坐标规律与作图方法，也考查了弧长公式的应用，解题的关键是准确掌握坐标变换规则，熟记弧长计算公式。
【难度系数】
0.8
本题分三个小问，解题思路如下：
(1)作关于x轴对称的三角形，首先利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律，先求出△ABC三个顶点关于x轴的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁。
(2)作绕原点顺时针旋转90°的三角形，先掌握“平面内点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后对应点的坐标为(y,-x)”的变换规律，求出三个顶点旋转后的坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂，直接读出C₂的坐标即可。
(3)求点B旋转的路径长，首先明确旋转过程中点的运动轨迹是圆弧：圆心为旋转中心O，半径为OB的长度，圆心角等于旋转角90°。先利用勾股定理求出OB的长度，再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径）计算即可得到路径长。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此A(-3,5)的对称点A₁(-3,-5)，B(-2,1)的对称点B₁(-2,-1)，C(-1,3)的对称点C₁(-1,-3)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 点(x,y)绕原点O顺时针旋转90°后对应点坐标为(y,-x)，因此：
A(-3,5)旋转后对应点A₂(5,3)，B(-2,1)旋转后对应点B₂(1,2)，C(-1,3)旋转后对应点C₂(3,1)，依次连接A₂、B₂、C₂得到△A₂B₂C₂，可得C₂坐标为(3,1)。
(3) 点B旋转到B₂的路径为以O为圆心，OB为半径，圆心角为90°的弧$\overset{\frown}{BB_2}$：
首先计算OB的长度，由B(-2,1)，根据勾股定理得$OB=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}$；
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中n=90°，r=OB=$\sqrt{5}$，代入得：
路径长$l=\frac{90π×\sqrt{5}}{180}=\frac{\sqrt{5}π}{2}$。
【答案】
(1)如图，△A₁B₁C₁ 即为所求。
(2)如图，△A₂B₂C₂ 即为所求，点C₂的坐标为(3,1)。
(3)点B旋转到点B₂的过程中所经过的路径长为$\frac{\sqrt{5}π}{2}$。
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；图形的旋转变换；弧长计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何变换的基础题，结合了作图与计算，既考查了轴对称、旋转变换的坐标规律与作图方法，也考查了弧长公式的应用，解题的关键是准确掌握坐标变换规则，熟记弧长计算公式。
【难度系数】
0.8