21.「2026河北唐山玉田期末，★★☆」(8分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD//OC，交BC的延长线于D，AB交OC于E，∠ABC=45°。
(1)求证:AD是⊙O的切线。
(2)若AE=$\sqrt{29}$，CE=3，求图中阴影部分的面积(结果用π表示)。
(1)求证:AD是⊙O的切线。
(2)若AE=$\sqrt{29}$，CE=3，求图中阴影部分的面积(结果用π表示)。
答案：
21.解析 (1)证明:如图,连接 OA,
∵ ∠ABC=45°,
∴ ∠AOC=2∠ABC=90°, ……………… (1分)
∵ AD//OC,
∴ ∠DAO=180°-∠COA=90°,
∴ OA ⊥ AD, ………………………… (3分)
∵ OA 是⊙O 的半径,
∴ AD 是⊙O 的切线. …………………… (4分)
(2)设 OE=x,则 OA=OC=CE+OE=x+3,在 Rt△AOE 中,由勾股定理得 OE²+OA²=AE²,
∵ AE=√29,
∴ x²+(x+3)²=29,解得x₁=2,x₂=-5(舍去),
∴ OC=x+3=5,……………… (6分)
∴ S扇形OAC=(90π×5²)/360=25/4 π,S△AOC=1/2×5×5=25/2,
∴ 阴影部分的面积=25/4 π -25/2.………… (8分)
21.解析 (1)证明:如图,连接 OA,
∵ ∠ABC=45°,
∴ ∠AOC=2∠ABC=90°, ……………… (1分)
∵ AD//OC,
∴ ∠DAO=180°-∠COA=90°,
∴ OA ⊥ AD, ………………………… (3分)
∵ OA 是⊙O 的半径,
∴ AD 是⊙O 的切线. …………………… (4分)
(2)设 OE=x,则 OA=OC=CE+OE=x+3,在 Rt△AOE 中,由勾股定理得 OE²+OA²=AE²,
∵ AE=√29,
∴ x²+(x+3)²=29,解得x₁=2,x₂=-5(舍去),
∴ OC=x+3=5,……………… (6分)
∴ S扇形OAC=(90π×5²)/360=25/4 π,S△AOC=1/2×5×5=25/2,
∴ 阴影部分的面积=25/4 π -25/2.………… (8分)
解析：
【分析】
(1)要证明AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AD垂直于半径OA，因此先连接辅助线OA。利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠ABC=45°可得圆心角∠AOC=90°，再结合AD//OC，可推出OA⊥AD，即可得证。
(2)阴影部分面积可通过割补法计算，即扇形OAC的面积减去△AOC的面积。先设OE=x，可得半径OA=OC=x+3，在Rt△AOE中利用勾股定理列方程求解得到半径长度，再分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1)证明：如图，连接OA，
∵ ∠ABC=45°，
∴ ∠AOC=2∠ABC=90°，
∵ AD//OC，
∴ ∠DAO=180°-∠COA=90°，即OA ⊥ AD，
∵ OA 是⊙O 的半径，
∴ AD 是⊙O 的切线。
(2)设 OE=x，则 OA=OC=CE+OE=x+3，
在 Rt△AOE 中，由勾股定理得 OE²+OA²=AE²，
∵ AE=√29，
∴ x²+(x+3)²=29，
解得x₁=2，x₂=-5（不符合题意，舍去），
∴ OC=OA=2+3=5，
∴ $S_{扇形OAC}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$，
∴ 阴影部分的面积=$S_{扇形OAC} - S_{△ AOC} = \frac{25π}{4} - \frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{25}{4}π-\frac{25}{2}$。
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，既考查了圆的核心性质、切线的判定方法，也考查了利用勾股定理求线段长度、割补法计算不规则图形面积的方法，是期末常考的典型题型，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用圆的相关性质求解。
【难度系数】
0.65
(1)要证明AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AD垂直于半径OA，因此先连接辅助线OA。利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠ABC=45°可得圆心角∠AOC=90°，再结合AD//OC，可推出OA⊥AD，即可得证。
(2)阴影部分面积可通过割补法计算，即扇形OAC的面积减去△AOC的面积。先设OE=x，可得半径OA=OC=x+3，在Rt△AOE中利用勾股定理列方程求解得到半径长度，再分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1)证明：如图，连接OA，
∵ ∠ABC=45°，
∴ ∠AOC=2∠ABC=90°，
∵ AD//OC，
∴ ∠DAO=180°-∠COA=90°，即OA ⊥ AD，
∵ OA 是⊙O 的半径，
∴ AD 是⊙O 的切线。
(2)设 OE=x，则 OA=OC=CE+OE=x+3，
在 Rt△AOE 中，由勾股定理得 OE²+OA²=AE²，
∵ AE=√29，
∴ x²+(x+3)²=29，
解得x₁=2，x₂=-5（不符合题意，舍去），
∴ OC=OA=2+3=5，
∴ $S_{扇形OAC}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$，
∴ 阴影部分的面积=$S_{扇形OAC} - S_{△ AOC} = \frac{25π}{4} - \frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{25}{4}π-\frac{25}{2}$。
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，既考查了圆的核心性质、切线的判定方法，也考查了利用勾股定理求线段长度、割补法计算不规则图形面积的方法，是期末常考的典型题型，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用圆的相关性质求解。
【难度系数】
0.65