1. (2026·辽宁大连期末)如图所示为猎豹捕猎羚羊的情景.猎豹高速奔跑最多只能持续约3 min,否则会因为脑部温度过高而危及生命,在这3 min内,它能奔跑约4 500 m;而羚羊则可以用20 m/s的速度进行耐久跑.根据以上信息,计算:
(1)猎豹在这3 min内奔跑的平均速度是多大?
(2)羚羊3 min能跑多远?
(3)事实上,猎豹可以在3 s内完成加速过程,加速过程平均速度约30 m/s,之后只能保持极速120 km/h的速度约10 s,如果在这13 s内捕捉不到猎物,则通常会放弃捕猎,羚羊如果想不被猎豹捉住,忽略羚羊的启动时间,它至少要与猎豹保持多少米的距离(计算结果保留一位小数)?
(1)猎豹在这3 min内奔跑的平均速度是多大?
(2)羚羊3 min能跑多远?
(3)事实上,猎豹可以在3 s内完成加速过程,加速过程平均速度约30 m/s,之后只能保持极速120 km/h的速度约10 s,如果在这13 s内捕捉不到猎物,则通常会放弃捕猎,羚羊如果想不被猎豹捉住,忽略羚羊的启动时间,它至少要与猎豹保持多少米的距离(计算结果保留一位小数)?
答案：(1) 25 m/s
(2) 3 600 m
(3) 163.3 m
解析:(1)猎豹在t=3 min=180 s奔跑的平均速度$v_1=\frac{s_1}{t}=\frac{4\ 500\ \mathrm{m}}{180\ \mathrm{s}}=25\ \mathrm{m/s}.$(2)羚羊3 min能跑的路程$s_2=v_2t=20\ \mathrm{m/s}×180\ \mathrm{s}=3\ 600\ \mathrm{m}.$(3)要使羚羊不被猎豹捉住,临界情况是13 s时猎豹刚好追上羚羊,猎豹跑过的路程恰好等于羚羊跑过的路程与它们之间的初始距离之和.设该初始距离为d,猎豹加速阶段的路程$s_{加}=v_{加}t_{加}=30\ \mathrm{m/s}×3\ \mathrm{s}=90\ \mathrm{m},$匀速阶段的时间$t_{匀}=10\ \mathrm{s}=\frac{1}{360}\ \mathrm{h},$匀速阶段的路程$s_{匀}=v_{匀}t_{匀}=120\ \mathrm{km/h}×\frac{1}{360}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{km}=\frac{1\ 000}{3}\ \mathrm{m},$猎豹在13 s内跑过的总路程$s_{总}=s_{加}+s_{匀}=90\ \mathrm{m}+\frac{1\ 000}{3}\ \mathrm{m}=\frac{1\ 270}{3}\ \mathrm{m},$羚羊在13 s内跑过的路程$s_{羊}=v_{羊}t_{总}=20\ \mathrm{m/s}×13\ \mathrm{s}=260\ \mathrm{m},$根据追及条件,若猎豹追不上羚羊,羚羊至少要与猎豹保持的距离$d=s_{总}-s_{羊}=\frac{1\ 270}{3}\ \mathrm{m}-260\ \mathrm{m}\approx163.3\ \mathrm{m}.$
(2) 3 600 m
(3) 163.3 m
解析:(1)猎豹在t=3 min=180 s奔跑的平均速度$v_1=\frac{s_1}{t}=\frac{4\ 500\ \mathrm{m}}{180\ \mathrm{s}}=25\ \mathrm{m/s}.$(2)羚羊3 min能跑的路程$s_2=v_2t=20\ \mathrm{m/s}×180\ \mathrm{s}=3\ 600\ \mathrm{m}.$(3)要使羚羊不被猎豹捉住,临界情况是13 s时猎豹刚好追上羚羊,猎豹跑过的路程恰好等于羚羊跑过的路程与它们之间的初始距离之和.设该初始距离为d,猎豹加速阶段的路程$s_{加}=v_{加}t_{加}=30\ \mathrm{m/s}×3\ \mathrm{s}=90\ \mathrm{m},$匀速阶段的时间$t_{匀}=10\ \mathrm{s}=\frac{1}{360}\ \mathrm{h},$匀速阶段的路程$s_{匀}=v_{匀}t_{匀}=120\ \mathrm{km/h}×\frac{1}{360}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{km}=\frac{1\ 000}{3}\ \mathrm{m},$猎豹在13 s内跑过的总路程$s_{总}=s_{加}+s_{匀}=90\ \mathrm{m}+\frac{1\ 000}{3}\ \mathrm{m}=\frac{1\ 270}{3}\ \mathrm{m},$羚羊在13 s内跑过的路程$s_{羊}=v_{羊}t_{总}=20\ \mathrm{m/s}×13\ \mathrm{s}=260\ \mathrm{m},$根据追及条件,若猎豹追不上羚羊,羚羊至少要与猎豹保持的距离$d=s_{总}-s_{羊}=\frac{1\ 270}{3}\ \mathrm{m}-260\ \mathrm{m}\approx163.3\ \mathrm{m}.$
2.(2026·山东青岛期末)如图甲所示,校园周边道路为双向两车道,校车A和私家车B在道路上相向而行.如图乙是校车A和私家车B的路程随时间变化的图像.求:
(1) 私家车B的速度；
(2) 若第25 s时两车恰好相遇,则第10 s时两车相距的距离；
(3) 如图丙所示,该道路每条车道宽6 m,一名学生正以1.5 m/s的速度匀速横穿马路.一辆长度为4 m的私家车C,此时正沿车道中间匀速直行,且距离学生的行走路线30 m.为了使学生安全通过(学生完全穿过车道后,私家车C才到达行走路线;或学生到达路中间时,私家车C已完全通过行走路线),私家车C的行驶速度范围.
(1) 私家车B的速度；
(2) 若第25 s时两车恰好相遇,则第10 s时两车相距的距离；
(3) 如图丙所示,该道路每条车道宽6 m,一名学生正以1.5 m/s的速度匀速横穿马路.一辆长度为4 m的私家车C,此时正沿车道中间匀速直行,且距离学生的行走路线30 m.为了使学生安全通过(学生完全穿过车道后,私家车C才到达行走路线;或学生到达路中间时,私家车C已完全通过行走路线),私家车C的行驶速度范围.
答案：(1) 5 m/s
(2) 75 m
(3) $v_C≤ 3.75\ \mathrm{m/s}$ 或 $v_C≥ 8.5\ \mathrm{m/s}$
解析:(1)由图乙可知,当时间$t_B=20\ \mathrm{s}$时,私家车B行驶的路程$s_B=100\ \mathrm{m},$私家车B的速度$v_B=\frac{s_B}{t_B}=\frac{100\ \mathrm{m}}{20\ \mathrm{s}}=5\ \mathrm{m/s}.$(2)两车相向而行,由图乙可知,车A从第10 s开始静止不动,车B一直做匀速直线运动,由题意可知,第25 s时两车正好相遇,所以车A和车B在第10 s时相距的距离为车B从第10 s运动到第25 s的路程,即$\Delta s=v_Bt_B'=5\ \mathrm{m/s}×(25\ \mathrm{s}-10\ \mathrm{s})=75\ \mathrm{m}.$(3)学生完全穿过车道所用的时间$t_{人}=\frac{d}{v_{人}}=\frac{2×6\ \mathrm{m}}{1.5\ \mathrm{m/s}}=8\ \mathrm{s},$若此时私家车刚好到达学生的行走路线处,则学生先过的情况下,私家车的最大速度$v_C=\frac{s_0}{t_{人}}=\frac{30\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{s}}=3.75\ \mathrm{m/s};$学生到达路中间所用的时间$t_{人}'=\frac{\frac{d}{2}}{v_{人}}=\frac{6\ \mathrm{m}}{1.5\ \mathrm{m/s}}=4\ \mathrm{s},$若私家车C此时恰好完全通过行走路线,则车先过的情况下,私家车的最小速度$v_C'=\frac{s_0+l_{车}}{t_{人}'}=\frac{30\ \mathrm{m}+4\ \mathrm{m}}{4\ \mathrm{s}}=8.5\ \mathrm{m/s}.$综上所述,为了使学生安全通过,私家车C的行驶速度范围为$v_C≤ 3.75\ \mathrm{m/s}$ 或 $v_C≥ 8.5\ \mathrm{m/s}.$
(2) 75 m
(3) $v_C≤ 3.75\ \mathrm{m/s}$ 或 $v_C≥ 8.5\ \mathrm{m/s}$
解析:(1)由图乙可知,当时间$t_B=20\ \mathrm{s}$时,私家车B行驶的路程$s_B=100\ \mathrm{m},$私家车B的速度$v_B=\frac{s_B}{t_B}=\frac{100\ \mathrm{m}}{20\ \mathrm{s}}=5\ \mathrm{m/s}.$(2)两车相向而行,由图乙可知,车A从第10 s开始静止不动,车B一直做匀速直线运动,由题意可知,第25 s时两车正好相遇,所以车A和车B在第10 s时相距的距离为车B从第10 s运动到第25 s的路程,即$\Delta s=v_Bt_B'=5\ \mathrm{m/s}×(25\ \mathrm{s}-10\ \mathrm{s})=75\ \mathrm{m}.$(3)学生完全穿过车道所用的时间$t_{人}=\frac{d}{v_{人}}=\frac{2×6\ \mathrm{m}}{1.5\ \mathrm{m/s}}=8\ \mathrm{s},$若此时私家车刚好到达学生的行走路线处,则学生先过的情况下,私家车的最大速度$v_C=\frac{s_0}{t_{人}}=\frac{30\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{s}}=3.75\ \mathrm{m/s};$学生到达路中间所用的时间$t_{人}'=\frac{\frac{d}{2}}{v_{人}}=\frac{6\ \mathrm{m}}{1.5\ \mathrm{m/s}}=4\ \mathrm{s},$若私家车C此时恰好完全通过行走路线,则车先过的情况下,私家车的最小速度$v_C'=\frac{s_0+l_{车}}{t_{人}'}=\frac{30\ \mathrm{m}+4\ \mathrm{m}}{4\ \mathrm{s}}=8.5\ \mathrm{m/s}.$综上所述,为了使学生安全通过,私家车C的行驶速度范围为$v_C≤ 3.75\ \mathrm{m/s}$ 或 $v_C≥ 8.5\ \mathrm{m/s}.$