10.一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，交换这个两位数十位上的数字和个位上的数字，得到一个新数，这个新数与原数的差能被下列哪个数整除 （
A.7
B.9
C.11
D.15
B
）A.7
B.9
C.11
D.15
答案：10.B
解析：
【分析】
要解决这道题，首先要掌握两位数的代数表示方法：十位数字乘10加个位数字就是对应的两位数。解题思路分三步：第一步分别写出原两位数和交换位置后的新两位数的代数式；第二步计算新数与原数的差；第三步对差进行化简，根据化简结果的因数判断能被哪个选项的数整除。
【解析】
首先表示原两位数：十位数字为$a$，个位数字为$b$，因此原数为$10a + b$。
交换十位和个位数字后的新两位数：十位数字为$b$，个位数字为$a$，因此新数为$10b + a$。
计算新数与原数的差：
$\begin{aligned}&(10b + a) - (10a + b)\\=&10b + a - 10a - b\\=&9b - 9a\\=&9(b - a)\end{aligned}$
化简结果为$9(b-a)$，其中$b-a$是整数，说明这个差是9的倍数，能被9整除。
【答案】
B
【知识点】
列代数式，整式的加减，数的整除
【点评】
本题考查整式加减在数字问题中的应用，解题关键是正确用代数式表示两位数，通过化简差得到结果，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要掌握两位数的代数表示方法：十位数字乘10加个位数字就是对应的两位数。解题思路分三步：第一步分别写出原两位数和交换位置后的新两位数的代数式；第二步计算新数与原数的差；第三步对差进行化简，根据化简结果的因数判断能被哪个选项的数整除。
【解析】
首先表示原两位数：十位数字为$a$，个位数字为$b$，因此原数为$10a + b$。
交换十位和个位数字后的新两位数：十位数字为$b$，个位数字为$a$，因此新数为$10b + a$。
计算新数与原数的差：
$\begin{aligned}&(10b + a) - (10a + b)\\=&10b + a - 10a - b\\=&9b - 9a\\=&9(b - a)\end{aligned}$
化简结果为$9(b-a)$，其中$b-a$是整数，说明这个差是9的倍数，能被9整除。
【答案】
B
【知识点】
列代数式，整式的加减，数的整除
【点评】
本题考查整式加减在数字问题中的应用，解题关键是正确用代数式表示两位数，通过化简差得到结果，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
11.当$a+b=3$时，代数式$2(a+2b)-(3a+5b)+5$的值为
$2$
.答案：11.2
解析：
【分析】
解题时首先对所求代数式进行化简，先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，观察化简后的式子与已知条件$a+b=3$的联系，可将$a+b$看作一个整体代入求值，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
第一步：化简代数式
$\begin{aligned}&2(a+2b)-(3a+5b)+5\\=&2a + 4b - 3a - 5b + 5\\=&(2a-3a)+(4b-5b)+5\\=&-a - b +5\\=&-(a+b)+5\end{aligned}$
第二步：将$a+b=3$整体代入化简后的式子计算：
当$a+b=3$时，原式$=-3 + 5 = 2$
【答案】
2
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题，核心解题思路是先化简再代入，利用整体代入的思想可避免求解单个未知数的麻烦，降低计算量，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先对所求代数式进行化简，先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，观察化简后的式子与已知条件$a+b=3$的联系，可将$a+b$看作一个整体代入求值，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
第一步：化简代数式
$\begin{aligned}&2(a+2b)-(3a+5b)+5\\=&2a + 4b - 3a - 5b + 5\\=&(2a-3a)+(4b-5b)+5\\=&-a - b +5\\=&-(a+b)+5\end{aligned}$
第二步：将$a+b=3$整体代入化简后的式子计算：
当$a+b=3$时，原式$=-3 + 5 = 2$
【答案】
2
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题，核心解题思路是先化简再代入，利用整体代入的思想可避免求解单个未知数的麻烦，降低计算量，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
12.用“★”定义一种新运算:对于任意有理数$x$和$y$，$x★y=a^2x+ay+1$($a$为常数)，如$2★3=2a^2+3a+1$.若$1★2=3$，则$3★6$的值为
$7$
.答案：12.7
解析：
【分析】
解题时首先要明确新定义运算的规则，第一步先将$1★2$按照新运算规则转化为含$a$的代数式，结合已知$1★2=3$求出$a^2+2a$的值；第二步将$3★6$按照新运算规则展开，变形为含有$a^2+2a$的形式，最后用整体代入法计算即可，不需要单独求$a$的数值，符合整式加减的运算逻辑。
【解析】
根据新运算的定义$x★y=a^2x+ay+1$：
1. 计算$1★2$：将$x=1,y=2$代入公式，可得
$1★2=a^2×1 + a×2 +1=a^2+2a+1$
已知$1★2=3$，因此$a^2+2a+1=3$，移项得$a^2+2a=2$。
2. 计算$3★6$：将$x=3,y=6$代入公式，可得
$3★6=a^2×3 + a×6 +1=3a^2+6a+1$
对式子提取公因式变形得$3(a^2+2a)+1$，将$a^2+2a=2$整体代入：
$3×2+1=7$
【答案】
7
【知识点】
新定义运算、整式加减运算、整体代入求值
【点评】
本题结合新定义运算考查整式运算能力，解题核心是正确理解新运算规则，灵活运用整体代入思想简化计算，避免无意义的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确新定义运算的规则，第一步先将$1★2$按照新运算规则转化为含$a$的代数式，结合已知$1★2=3$求出$a^2+2a$的值；第二步将$3★6$按照新运算规则展开，变形为含有$a^2+2a$的形式，最后用整体代入法计算即可，不需要单独求$a$的数值，符合整式加减的运算逻辑。
【解析】
根据新运算的定义$x★y=a^2x+ay+1$：
1. 计算$1★2$：将$x=1,y=2$代入公式，可得
$1★2=a^2×1 + a×2 +1=a^2+2a+1$
已知$1★2=3$，因此$a^2+2a+1=3$，移项得$a^2+2a=2$。
2. 计算$3★6$：将$x=3,y=6$代入公式，可得
$3★6=a^2×3 + a×6 +1=3a^2+6a+1$
对式子提取公因式变形得$3(a^2+2a)+1$，将$a^2+2a=2$整体代入：
$3×2+1=7$
【答案】
7
【知识点】
新定义运算、整式加减运算、整体代入求值
【点评】
本题结合新定义运算考查整式运算能力，解题核心是正确理解新运算规则，灵活运用整体代入思想简化计算，避免无意义的复杂运算。
【难度系数】
0.7
13. A,B,C,D四个点的位置如图所示，A,B两点之间的距离表示为AB，AB=a+b，BC=a−b，BD=4a−2b.
(1)求A,C两点之间的距离AC；
(2)求C,D两点之间的距离CD；
(3)探究：CD−AB与BC之间的数量关系.
(1)求A,C两点之间的距离AC；
(2)求C,D两点之间的距离CD；
(3)探究：CD−AB与BC之间的数量关系.
答案：(1)$AC=AB+BC=a+b+a-b=2a$.
(2)$CD=BD-BC=4a-2b-(a-b)=4a-2b-a+b=3a-b$.
(3)因为$CD-AB=3a-b-(a+b)=3a-b-a-b=2a-2b$,$BC=a-b$,
所以$CD-AB=2BC$.
(2)$CD=BD-BC=4a-2b-(a-b)=4a-2b-a+b=3a-b$.
(3)因为$CD-AB=3a-b-(a+b)=3a-b-a-b=2a-2b$,$BC=a-b$,
所以$CD-AB=2BC$.
解析：
【分析】
(1)观察线段图可知点A、B、C顺次共线，AC的长度等于AB与BC的长度之和，将对应代数式代入合并同类项即可求解。
(2)点B、C、D顺次共线，CD的长度等于BD减去BC的长度，代入代数式时注意去括号的符号变化，再合并同类项即可。
(3)先计算出CD-AB的化简结果，再和BC的代数式对比，即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1)因为B在A、C之间，所以$AC=AB+BC$，代入已知条件得：
$AC=(a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$
(2)因为C在B、D之间，所以$CD=BD-BC$，代入已知条件得：
$CD=(4a-2b)-(a-b)=4a-2b-a+b=3a-b$
(3)先计算$CD-AB$的结果：
$CD-AB=(3a-b)-(a+b)=3a-b-a-b=2a-2b$
已知$BC=a-b$，因此$2a-2b=2(a-b)=2BC$，即$CD-AB=2BC$。
【答案】
(1)$AC=2a$
(2)$CD=3a-b$
(3)$CD-AB=2BC$
【知识点】
线段的和差计算；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题结合线段和差与整式加减知识点考查，解题核心是根据线段位置准确列出和差代数式，计算时注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
(1)观察线段图可知点A、B、C顺次共线，AC的长度等于AB与BC的长度之和，将对应代数式代入合并同类项即可求解。
(2)点B、C、D顺次共线，CD的长度等于BD减去BC的长度，代入代数式时注意去括号的符号变化，再合并同类项即可。
(3)先计算出CD-AB的化简结果，再和BC的代数式对比，即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1)因为B在A、C之间，所以$AC=AB+BC$，代入已知条件得：
$AC=(a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$
(2)因为C在B、D之间，所以$CD=BD-BC$，代入已知条件得：
$CD=(4a-2b)-(a-b)=4a-2b-a+b=3a-b$
(3)先计算$CD-AB$的结果：
$CD-AB=(3a-b)-(a+b)=3a-b-a-b=2a-2b$
已知$BC=a-b$，因此$2a-2b=2(a-b)=2BC$，即$CD-AB=2BC$。
【答案】
(1)$AC=2a$
(2)$CD=3a-b$
(3)$CD-AB=2BC$
【知识点】
线段的和差计算；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题结合线段和差与整式加减知识点考查，解题核心是根据线段位置准确列出和差代数式，计算时注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
14.(2025·宿迁宿城新区期中)(1)先化简,再求值: $3x^2y - [2x^2y - (xyz - 2xz^2) - 3x^2y] - 2xyz$,其中$x=1,y=-2,z=-1$.
(2)若$a^2 + 2ab=20,b^2 + 2ab=8$,求$a^2 + 2b^2 +6ab$的值.
(2)若$a^2 + 2ab=20,b^2 + 2ab=8$,求$a^2 + 2b^2 +6ab$的值.
答案：(1)原式$=3x^2y-(2x^2y-xyz+2xz^2-3x^2y)-2xyz=3x^2y-2x^2y+xyz-2xz^2+3x^2y-2xyz=4x^2y-xyz-2xz^2$.
当$x=1,y=-2,z=-1$时,
原式$=4×1^2×(-2)-1×(-2)×(-1)-2×1×(-1)^2=-8-2-2=-12$.
(2)因为$a^2+2ab=20①,b^2+2ab=8②$,
所以$①+②×2$,得$a^2+2ab+2(b^2+2ab)=20+2×8=36$,即$a^2+2b^2+6ab$的值为36.
当$x=1,y=-2,z=-1$时,
原式$=4×1^2×(-2)-1×(-2)×(-1)-2×1×(-1)^2=-8-2-2=-12$.
(2)因为$a^2+2ab=20①,b^2+2ab=8②$,
所以$①+②×2$,得$a^2+2ab+2(b^2+2ab)=20+2×8=36$,即$a^2+2b^2+6ab$的值为36.
解析：
【分析】
(1) 第一问是整式化简求值题，解题思路为先按去括号法则逐层去掉括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项得到最简整式，最后将x、y、z的取值代入最简式计算结果即可。
(2) 第二问是代数式整体求值题，不需要单独求出a、b的具体值，先观察待求式$a^2 + 2b^2 +6ab$的结构，可将其拆分为已知的$a^2+2ab$和$b^2+2ab$的组合形式，即待求式等于第一个已知式加上第二个已知式的2倍，直接整体代入计算即可。
【解析】
(1) 去括号并合并同类项：
原式$=3x^2y-(2x^2y-xyz+2xz^2-3x^2y)-2xyz$
$=3x^2y-2x^2y+xyz-2xz^2+3x^2y-2xyz$
$=4x^2y-xyz-2xz^2$
将$x=1,y=-2,z=-1$代入最简式：
原式$=4×1^2×(-2)-1×(-2)×(-1)-2×1×(-1)^2=-8-2-2=-12$
(2) 记$a^2+2ab=20$ ①，$b^2+2ab=8$ ②，
待求式可变形为：$a^2 + 2b^2 +6ab = (a^2+2ab) + 2(b^2+2ab)$
将①②代入得：原式$=20 + 2×8 = 36$
【答案】
(1) $-12$；(2) $36$
【知识点】
整式化简求值、去括号与合并同类项、整体代入求值
【点评】
本题重点考察整式加减的基础运算和整体思想的应用，第一问的易错点为去括号时符号处理错误，计算时要注意逐层去括号，合并同类项不要漏项；第二问的解题关键是观察待求式和已知等式的结构关联，灵活运用整体代入简化计算，无需单独求解单个字母的取值。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是整式化简求值题，解题思路为先按去括号法则逐层去掉括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项得到最简整式，最后将x、y、z的取值代入最简式计算结果即可。
(2) 第二问是代数式整体求值题，不需要单独求出a、b的具体值，先观察待求式$a^2 + 2b^2 +6ab$的结构，可将其拆分为已知的$a^2+2ab$和$b^2+2ab$的组合形式，即待求式等于第一个已知式加上第二个已知式的2倍，直接整体代入计算即可。
【解析】
(1) 去括号并合并同类项：
原式$=3x^2y-(2x^2y-xyz+2xz^2-3x^2y)-2xyz$
$=3x^2y-2x^2y+xyz-2xz^2+3x^2y-2xyz$
$=4x^2y-xyz-2xz^2$
将$x=1,y=-2,z=-1$代入最简式：
原式$=4×1^2×(-2)-1×(-2)×(-1)-2×1×(-1)^2=-8-2-2=-12$
(2) 记$a^2+2ab=20$ ①，$b^2+2ab=8$ ②，
待求式可变形为：$a^2 + 2b^2 +6ab = (a^2+2ab) + 2(b^2+2ab)$
将①②代入得：原式$=20 + 2×8 = 36$
【答案】
(1) $-12$；(2) $36$
【知识点】
整式化简求值、去括号与合并同类项、整体代入求值
【点评】
本题重点考察整式加减的基础运算和整体思想的应用，第一问的易错点为去括号时符号处理错误，计算时要注意逐层去括号，合并同类项不要漏项；第二问的解题关键是观察待求式和已知等式的结构关联，灵活运用整体代入简化计算，无需单独求解单个字母的取值。
【难度系数】
0.7
15.阅读材料:学习了绝对值的概念后,我们可以认为:一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,即当$a＜0$时,$|a|=-a$.根据以上材料,解答下列问题:
(1)$|3.14-π|=$
(2)如果有理数$a＜b$,那么$|a-b|=$
(3)计算:$\left| \frac{1}{2} - 1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2024} - \frac{1}{2023} \right| + \left| \frac{1}{2025} - \frac{1}{2024} \right|$;
(4)有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示,化简:$|a| + |a+b| - 2|b - c|$.
(1)$|3.14-π|=$
$π-3.14$
;(2)如果有理数$a＜b$,那么$|a-b|=$
$b-a$
;(3)计算:$\left| \frac{1}{2} - 1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2024} - \frac{1}{2023} \right| + \left| \frac{1}{2025} - \frac{1}{2024} \right|$;
(4)有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示,化简:$|a| + |a+b| - 2|b - c|$.
答案：(1)$π-3.14$
(2)$b-a$
(3)解:原式$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2023}-\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025}=1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$.
(4)解:由数轴可得,$-2＜a＜-1＜b＜0＜2＜c＜3$,
所以$|a|+|a+b|-2|b-c|=-a-(a+b)-2(c-b)=-a-a-b-2c+2b=-2a+b-2c$.
(2)$b-a$
(3)解:原式$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2023}-\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025}=1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$.
(4)解:由数轴可得,$-2＜a＜-1＜b＜0＜2＜c＜3$,
所以$|a|+|a+b|-2|b-c|=-a-(a+b)-2(c-b)=-a-a-b-2c+2b=-2a+b-2c$.
解析：
【分析】
本题围绕绝对值的化简展开，核心解题思路是：先判断绝对值内代数式的正负性，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，再进行后续计算。
(1) 先比较3.14和π的大小，判断3.14-π的正负，再去绝对值；
(2) 根据a＜b判断a-b的正负，再去绝对值；
(3) 观察发现每个绝对值内的差均为负数，去绝对值后相邻项可相互抵消，仅需计算首尾两项即可；
(4) 先根据数轴得出a、b、c的取值范围，分别判断a、a+b、b-c的正负，再逐个去绝对值，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 因为π≈3.14159＞3.14，所以3.14-π＜0，根据负数的绝对值是它的相反数可得：
$|3.14-π|=-(3.14-π)=π-3.14$
(2) 因为$a＜b$，所以$a-b＜0$，因此：
$|a-b|=-(a-b)=b-a$
(3) 每个绝对值内的差均为负数，去绝对值后计算：
$\begin{aligned}原式&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}\\&=1-\frac{1}{2025}\\&=\frac{2024}{2025}\end{aligned}$
(4) 由数轴可得：$-2＜a＜-1$，$-1＜b＜0$，$2＜c＜3$，因此$a＜0$，$a+b＜0$，$b-c＜0$，去绝对值后代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-a-(a+b)-2(c-b)\\&=-a-a-b-2c+2b\\&=-2a+b-2c\end{aligned}$
【答案】
(1)$π-3.14$
(2)$b-a$
(3)$\dfrac{2024}{2025}$
(4)$-2a+b-2c$
【知识点】
绝对值的性质，有理数的加减运算，整式的加减
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活应用，解题关键是准确判断绝对值内式子的正负，其中第三问的裂项抵消、第四问结合数轴判断字母取值范围是该类题型的常考形式，掌握好正负判断的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
本题围绕绝对值的化简展开，核心解题思路是：先判断绝对值内代数式的正负性，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，再进行后续计算。
(1) 先比较3.14和π的大小，判断3.14-π的正负，再去绝对值；
(2) 根据a＜b判断a-b的正负，再去绝对值；
(3) 观察发现每个绝对值内的差均为负数，去绝对值后相邻项可相互抵消，仅需计算首尾两项即可；
(4) 先根据数轴得出a、b、c的取值范围，分别判断a、a+b、b-c的正负，再逐个去绝对值，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 因为π≈3.14159＞3.14，所以3.14-π＜0，根据负数的绝对值是它的相反数可得：
$|3.14-π|=-(3.14-π)=π-3.14$
(2) 因为$a＜b$，所以$a-b＜0$，因此：
$|a-b|=-(a-b)=b-a$
(3) 每个绝对值内的差均为负数，去绝对值后计算：
$\begin{aligned}原式&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}\\&=1-\frac{1}{2025}\\&=\frac{2024}{2025}\end{aligned}$
(4) 由数轴可得：$-2＜a＜-1$，$-1＜b＜0$，$2＜c＜3$，因此$a＜0$，$a+b＜0$，$b-c＜0$，去绝对值后代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-a-(a+b)-2(c-b)\\&=-a-a-b-2c+2b\\&=-2a+b-2c\end{aligned}$
【答案】
(1)$π-3.14$
(2)$b-a$
(3)$\dfrac{2024}{2025}$
(4)$-2a+b-2c$
【知识点】
绝对值的性质，有理数的加减运算，整式的加减
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活应用，解题关键是准确判断绝对值内式子的正负，其中第三问的裂项抵消、第四问结合数轴判断字母取值范围是该类题型的常考形式，掌握好正负判断的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7