1. 从甲、乙两班中各随机抽取10名学生，他们的科学知识测试成绩如下(单位:分)：
甲班:83,85,82,86,87,81,86,84,90,76；
乙班:74,79,89,91,80,79,89,85,84,90.
分别计算这两组样本的平均数和方差，并估计哪个班级学生的科学测试成绩水平比较一致.
甲班:83,85,82,86,87,81,86,84,90,76；
乙班:74,79,89,91,80,79,89,85,84,90.
分别计算这两组样本的平均数和方差，并估计哪个班级学生的科学测试成绩水平比较一致.
答案：解：
计算甲班样本的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{1}{10}×(83+85+82+86+87+81+86+84+90+76) = 84$（分）
甲班样本的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(83-84)^2+(85-84)^2+(82-84)^2+(86-84)^2+(87-84)^2+(81-84)^2+(86-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2+(76-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(1+1+4+4+9+9+4+0+36+64) = 13.2$
计算乙班样本的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{1}{10}×(74+79+89+91+80+79+89+85+84+90) = 84$（分）
乙班样本的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[(74-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(91-84)^2+(80-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(85-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(100+25+25+49+16+25+25+1+0+36) = 30.2$
$\because s^2_甲 ＜ s^2_乙$，
$\therefore$ 甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
答：甲班样本平均数为84分，方差为13.2；乙班样本平均数为84分，方差为30.2，甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
计算甲班样本的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{1}{10}×(83+85+82+86+87+81+86+84+90+76) = 84$（分）
甲班样本的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(83-84)^2+(85-84)^2+(82-84)^2+(86-84)^2+(87-84)^2+(81-84)^2+(86-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2+(76-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(1+1+4+4+9+9+4+0+36+64) = 13.2$
计算乙班样本的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{1}{10}×(74+79+89+91+80+79+89+85+84+90) = 84$（分）
乙班样本的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[(74-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(91-84)^2+(80-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(85-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(100+25+25+49+16+25+25+1+0+36) = 30.2$
$\because s^2_甲 ＜ s^2_乙$，
$\therefore$ 甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
答：甲班样本平均数为84分，方差为13.2；乙班样本平均数为84分，方差为30.2，甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
2. 阅读：
一组数据 $ x_1, x_2, \dots, x_n $ 的方差的算术平方根，即 $ s = \sqrt{\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \dots + (x_n - \overline{x})^2]} $ 叫作这组数据的标准差。例如，数据2，-1，3，2，-2，2的标准差 $ s = \sqrt{\frac{1}{6}[(2 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 + \dots + (2 - 1)^2]} \approx 1.8 $。
从某种树木的苗圃中随机抽取树苗100株，测量它们的高度（单位：cm），并按从小到大的顺序排列为：
43， 45， 49， 51， 54， 55， 57， 58， 58， 59，
59， 60， 60， 61， 61， 63， 63， 64， 65， 65，
65， 66， 66， 67， 68， 69， 69， 70， 70， 70，
70， 71， 71， 71， 72， 72， 73， 73， 73， 74，
74， 75， 75， 75， 75， 76， 76， 77， 79， 79，
80， 80， 80， 80， 81， 82， 82， 83， 83， 83，
85， 85， 85， 86， 86， 88， 88， 89， 90， 90，
90， 91， 91， 92， 94， 95， 95， 95， 96， 96，
97， 97， 99， 99， 100， 101， 101， 103， 104， 106，
106， 106， 107， 109， 109， 110， 110， 112， 115， 117.
（1）用计算器计算上述数据的平均数$\overline{x}$、方差$s^2$和标准差$s$；
（2）在$\overline{x} - s ∼ \overline{x} + s$范围内的数据占全部数据的百分之多少？
一组数据 $ x_1, x_2, \dots, x_n $ 的方差的算术平方根，即 $ s = \sqrt{\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \dots + (x_n - \overline{x})^2]} $ 叫作这组数据的标准差。例如，数据2，-1，3，2，-2，2的标准差 $ s = \sqrt{\frac{1}{6}[(2 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 + \dots + (2 - 1)^2]} \approx 1.8 $。
从某种树木的苗圃中随机抽取树苗100株，测量它们的高度（单位：cm），并按从小到大的顺序排列为：
43， 45， 49， 51， 54， 55， 57， 58， 58， 59，
59， 60， 60， 61， 61， 63， 63， 64， 65， 65，
65， 66， 66， 67， 68， 69， 69， 70， 70， 70，
70， 71， 71， 71， 72， 72， 73， 73， 73， 74，
74， 75， 75， 75， 75， 76， 76， 77， 79， 79，
80， 80， 80， 80， 81， 82， 82， 83， 83， 83，
85， 85， 85， 86， 86， 88， 88， 89， 90， 90，
90， 91， 91， 92， 94， 95， 95， 95， 96， 96，
97， 97， 99， 99， 100， 101， 101， 103， 104， 106，
106， 106， 107， 109， 109， 110， 110， 112， 115， 117.
（1）用计算器计算上述数据的平均数$\overline{x}$、方差$s^2$和标准差$s$；
（2）在$\overline{x} - s ∼ \overline{x} + s$范围内的数据占全部数据的百分之多少？
答案：解：
(1) 通过计算器计算可得：
平均数 $\overline{x} = 80\ \mathrm{cm}$，
方差 $s^2 \approx 287.1$，
标准差 $s \approx 16.9\ \mathrm{cm}$。
(2) 计算区间范围：
$\overline{x} - s \approx 80 - 16.9 = 63.1$，
$\overline{x} + s \approx 80 + 16.9 = 96.9$，
统计得100个数据中，落在$63.1 ∼ 96.9$范围内的数据共有65个，
所占百分比为 $\frac{65}{100} × 100\% = 65\%$。
答：(1) 平均数为$80\ \mathrm{cm}$，方差约为287.1，标准差约为$16.9\ \mathrm{cm}$；(2) 范围内的数据占全部数据的65%。
(1) 通过计算器计算可得：
平均数 $\overline{x} = 80\ \mathrm{cm}$，
方差 $s^2 \approx 287.1$，
标准差 $s \approx 16.9\ \mathrm{cm}$。
(2) 计算区间范围：
$\overline{x} - s \approx 80 - 16.9 = 63.1$，
$\overline{x} + s \approx 80 + 16.9 = 96.9$，
统计得100个数据中，落在$63.1 ∼ 96.9$范围内的数据共有65个，
所占百分比为 $\frac{65}{100} × 100\% = 65\%$。
答：(1) 平均数为$80\ \mathrm{cm}$，方差约为287.1，标准差约为$16.9\ \mathrm{cm}$；(2) 范围内的数据占全部数据的65%。