6. 小明和小丽玩掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子.
当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时，小明得1分，否则小丽得1分.这个游戏规则对双方公平吗？如果不公平，请提出一条对双方都公平的改进意见.
当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时，小明得1分，否则小丽得1分.这个游戏规则对双方公平吗？如果不公平，请提出一条对双方都公平的改进意见.
答案：解：
两人各掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能出现的结果共有$6 × 6 = 36$种。
其中两枚骰子点数之和大于7的结果共有15种，
因此小明得分的概率为$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$，
小丽得分的概率为$1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$。
因为$\frac{5}{12} ≠ \frac{7}{12}$，所以这个游戏规则对双方不公平。
改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时小明得1分，点数之和小于7时小丽得1分，点数之和等于7时双方均不得分，此时双方得分概率相等，游戏规则对双方公平。
（改进意见合理即可）
两人各掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能出现的结果共有$6 × 6 = 36$种。
其中两枚骰子点数之和大于7的结果共有15种，
因此小明得分的概率为$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$，
小丽得分的概率为$1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$。
因为$\frac{5}{12} ≠ \frac{7}{12}$，所以这个游戏规则对双方不公平。
改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时小明得1分，点数之和小于7时小丽得1分，点数之和等于7时双方均不得分，此时双方得分概率相等，游戏规则对双方公平。
（改进意见合理即可）
7. 有4支形状、大小、质地都相同的签，其中有2支签代表奖品，4个人按一定顺序依次从中任意抽取1支签（抽出的签不放回），先抽的人得到奖品的可能性一定大吗？为什么？
答案：解：先抽的人得到奖品的可能性不一定更大，4个人抽到奖品的可能性完全相等。
理由如下：
将2支有奖签记为A、B，2支无奖签记为C、D，4支签除内容外完全相同，4个人依次不放回抽取的所有结果都是等可能的。
1. 第1个人抽取时，共4支签，其中2支有奖，因此第1个人抽到奖品的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
2. 计算第2个人抽到奖品的概率：
若第1个人抽到奖品，剩余3支签中有1支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$；
若第1个人没抽到奖品，剩余3支签中有2支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$；
因此第2个人抽到奖品的总概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。
3. 同理可计算得，第3个人、第4个人抽到奖品的概率也均为$\frac{1}{2}$。
由此可知，4个人抽到奖品的概率完全相同，先抽的人得到奖品的可能性并不会更大。
理由如下：
将2支有奖签记为A、B，2支无奖签记为C、D，4支签除内容外完全相同，4个人依次不放回抽取的所有结果都是等可能的。
1. 第1个人抽取时，共4支签，其中2支有奖，因此第1个人抽到奖品的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
2. 计算第2个人抽到奖品的概率：
若第1个人抽到奖品，剩余3支签中有1支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$；
若第1个人没抽到奖品，剩余3支签中有2支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$；
因此第2个人抽到奖品的总概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。
3. 同理可计算得，第3个人、第4个人抽到奖品的概率也均为$\frac{1}{2}$。
由此可知，4个人抽到奖品的概率完全相同，先抽的人得到奖品的可能性并不会更大。
8. 小明发现路边设有一掷正方体骰子的游戏摊，规则是出现“6点”获奖，小明记录如下：
试通过运算揭示该游戏中骰子是否均匀.该游戏对参与者来说是骗局吗？
试通过运算揭示该游戏中骰子是否均匀.该游戏对参与者来说是骗局吗？
答案：解：
总投掷次数为：$30+20+25+5+18+50+12+40=200$
总中奖次数为：$1+0+0+1+0+2+0+1=5$
试验中掷出“6点”的频率为 $\frac{5}{200}=0.025$。
均匀正方体骰子掷出6点的理论概率为 $\frac{1}{6}\approx0.167$，试验得到的频率远小于理论概率，说明该骰子不均匀，该游戏对参与者来说是骗局。
总投掷次数为：$30+20+25+5+18+50+12+40=200$
总中奖次数为：$1+0+0+1+0+2+0+1=5$
试验中掷出“6点”的频率为 $\frac{5}{200}=0.025$。
均匀正方体骰子掷出6点的理论概率为 $\frac{1}{6}\approx0.167$，试验得到的频率远小于理论概率，说明该骰子不均匀，该游戏对参与者来说是骗局。