1. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中有白球（）
A.12个
B.16个
C.20个
D.30个
A.12个
B.16个
C.20个
D.30个
答案：A
解析：
先计算摸球得到的黑球频率：$\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$，利用频率估计概率，可知摸到黑球的概率约为$\frac{1}{4}$。设盒子中白球有$x$个，根据概率公式列方程：$\frac{4}{4+x}=\frac{1}{4}$，解得$x=12$，经检验$x=12$符合题意，因此估计盒子中有白球12个。
2. 某养殖户为了估计池塘里有多少条鱼，先从池塘里捕捞100条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，又从池塘里捕捞200条鱼，发现有15条有标记，估计池塘里有鱼（）
A.1 333条
B.3 000条
C.300条
D.1 500条
A.1 333条
B.3 000条
C.300条
D.1 500条
答案：A
解析：
设池塘里估计共有x条鱼，根据用样本频率估计总体概率的原理，带标记的鱼占池塘总鱼数的比例，近似等于第二次捕捞的200条鱼中带标记鱼的比例，列方程得：$\frac{100}{x}=\frac{15}{200}$，解得$x=\frac{100×200}{15}\approx1333$，即估计池塘里约有1333条鱼。
3. 在一个不透明的盒子中装有$a$个球，这些球除颜色外其他都相同，且只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则$a$的值约为。
答案：解：由频率估计概率的知识可知，大量重复试验下摸到红球的频率稳定在0.2左右，因此摸到红球的概率约为0.2。
根据概率公式可得：
$\frac{3}{a} = 0.2$
解得：$a=15$。
答：$a$的值约为15。
根据概率公式可得：
$\frac{3}{a} = 0.2$
解得：$a=15$。
答：$a$的值约为15。
4. 生物学家估计某一地区的野鹿只数时，常采用“捉放捉”的方法，即先捕捉野鹿$n$只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些野鹿作为样本.若多次这样捕捉到的野鹿中平均每$m$只有$a$只带有记号，则估计该地区野鹿的只数为.
答案：解：设该地区野鹿的总只数为$x$。
根据样本频率估计总体概率的原理，总体中带标记野鹿的占比近似等于样本中带标记野鹿的占比，可得：
$\frac{n}{x}=\frac{a}{m}$
解得：
$x=\frac{nm}{a}$
经检验，$x=\frac{nm}{a}$是原方程的解，且符合实际意义。
答：估计该地区野鹿的只数为$\frac{nm}{a}$。
根据样本频率估计总体概率的原理，总体中带标记野鹿的占比近似等于样本中带标记野鹿的占比，可得：
$\frac{n}{x}=\frac{a}{m}$
解得：
$x=\frac{nm}{a}$
经检验，$x=\frac{nm}{a}$是原方程的解，且符合实际意义。
答：估计该地区野鹿的只数为$\frac{nm}{a}$。
5. (1) 一个不透明的盒子中装有若干个除颜色外其他都相同的红球与黄球. 在这个袋子中先放入2个白球,再进行摸球试验,摸球试验的要求:每次摸出一个球,记录颜色后放回盒中搅匀,再继续摸球,全班一共做了400次这样的摸球试验. 若摸出白球的频数是40,你能估计在未放入白球前,袋中原来共有多少个小球吗?
(2) 提出问题:一个不透明的盒子中装有若干个除颜色外其他都相同的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?
活动操作:先从盒子中摸出8个球,画上记号放回盒子中. 再进行摸球试验,摸球试验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,记录颜色、是否有记号,放回盒子中,再继续摸球、记录、放回袋中.
统计结果:摸球试验一共做了50次,统计结果如下表.
由上述摸球试验推算:
① 盒子中红球、黄球各占总球数的百分比是多少?
② 盒子中有红球多少个?
(2) 提出问题:一个不透明的盒子中装有若干个除颜色外其他都相同的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?
活动操作:先从盒子中摸出8个球,画上记号放回盒子中. 再进行摸球试验,摸球试验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,记录颜色、是否有记号,放回盒子中,再继续摸球、记录、放回袋中.
统计结果:摸球试验一共做了50次,统计结果如下表.
由上述摸球试验推算:
① 盒子中红球、黄球各占总球数的百分比是多少?
② 盒子中有红球多少个?
答案：解：
(1) 设未放入白球前，袋中原来共有$ x $个小球。
摸出白球的频率为$\frac{40}{400}=0.1$，用频率估计概率可得：
$\frac{2}{x+2} = 0.1$
解得$ x = 18 $，经检验$ x=18 $是原方程的解，且符合题意。
(2) ① 50次摸球试验中，摸到红球的总次数为$ 18+2=20 $，摸到黄球的总次数为$ 28+2=30 $。
红球占总球数的百分比为：$\frac{20}{50} × 100\% = 40\%$
黄球占总球数的百分比为：$\frac{30}{50} × 100\% = 60\%$
② 50次摸球试验中，摸到有记号的球的总次数为$ 2+2=4 $，摸到带记号的球的频率为$\frac{4}{50}=0.08$。
设盒子中总共有$ y $个球，由题意得：
$\frac{8}{y} = 0.08$
解得$ y=100 $，经检验$ y=100 $是原方程的解，且符合题意。
盒子中红球的数量为$ 100 × 40\% = 40 $个。
答：(1) 估计未放入白球前，袋中原来共有18个小球；(2) ① 盒子中红球占总球数的40%，黄球占总球数的60%；② 盒子中有红球40个。
(1) 设未放入白球前，袋中原来共有$ x $个小球。
摸出白球的频率为$\frac{40}{400}=0.1$，用频率估计概率可得：
$\frac{2}{x+2} = 0.1$
解得$ x = 18 $，经检验$ x=18 $是原方程的解，且符合题意。
(2) ① 50次摸球试验中，摸到红球的总次数为$ 18+2=20 $，摸到黄球的总次数为$ 28+2=30 $。
红球占总球数的百分比为：$\frac{20}{50} × 100\% = 40\%$
黄球占总球数的百分比为：$\frac{30}{50} × 100\% = 60\%$
② 50次摸球试验中，摸到有记号的球的总次数为$ 2+2=4 $，摸到带记号的球的频率为$\frac{4}{50}=0.08$。
设盒子中总共有$ y $个球，由题意得：
$\frac{8}{y} = 0.08$
解得$ y=100 $，经检验$ y=100 $是原方程的解，且符合题意。
盒子中红球的数量为$ 100 × 40\% = 40 $个。
答：(1) 估计未放入白球前，袋中原来共有18个小球；(2) ① 盒子中红球占总球数的40%，黄球占总球数的60%；② 盒子中有红球40个。