1. 关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 3 = 2\sqrt{6}x$的根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
答案：B
解析：
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：$2x^2 - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$，可得$a=2$，$b=-2\sqrt{6}$，$c=3$。计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{6})^2 - 4×2×3 = 24 - 24 = 0$。当$\Delta=0$时，该一元二次方程有两个相等的实数根。
2. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的$a$，$b$，$c$满足$a+b+c=0$，则下列选项一定正确的是（）
A.$b^2 - 4ac ＞ 0$
B.$b^2 - 4ac ＜ 0$
C.$b^2 - 4ac ≥ 0$
D.$b^2 - 4ac ≤ 0$
A.$b^2 - 4ac ＞ 0$
B.$b^2 - 4ac ＜ 0$
C.$b^2 - 4ac ≥ 0$
D.$b^2 - 4ac ≤ 0$
答案：C
解析：
将x=1代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得$a·1^2 + b·1 + c = a+b+c$，由题设$a+b+c=0$，可知$x=1$是该方程的一个实数根，因此这个一元二次方程至少有一个实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，可得$b^2-4ac≥0$。
3. 若一元二次方程$x^2 - 2x - m = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是.
答案：$m ＞ -1$
解析：
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x - m = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-m$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$，
$4 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -1$。
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-m$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$，
$4 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -1$。
4. 关于x的一元二次方程$x(x-3)=a^2x$的根的情况是.
答案：解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x = a^2x$
$x^2 - (3+a^2)x = 0$
其中二次项系数为$1$，一次项系数$b=-(3+a^2)$，常数项$c=0$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(3+a^2)]^2 - 4×1×0 \\&= (3+a^2)^2\end{aligned}$
因为$a^2\ge0$，所以$3+a^2\ge3＞0$，可得$\Delta=(3+a^2)^2＞0$。
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根。
$x^2 - 3x = a^2x$
$x^2 - (3+a^2)x = 0$
其中二次项系数为$1$，一次项系数$b=-(3+a^2)$，常数项$c=0$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(3+a^2)]^2 - 4×1×0 \\&= (3+a^2)^2\end{aligned}$
因为$a^2\ge0$，所以$3+a^2\ge3＞0$，可得$\Delta=(3+a^2)^2＞0$。
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根。
5. 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) $3x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2) $5x^2 - 2x + 1 = 0$；
(3) $\frac{1}{2}x^2 - 6x = 0$；
(4) $x(x - 2\sqrt{3}) = -3$。
(1) $3x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2) $5x^2 - 2x + 1 = 0$；
(3) $\frac{1}{2}x^2 - 6x = 0$；
(4) $x(x - 2\sqrt{3}) = -3$。
答案：解：
(1) 对于方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$，
$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-1) = 16 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$5x^2 - 2x + 1 = 0$，
$a=5$，$b=-2$，$c=1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×5×1 = -16 ＜ 0$，
∴ 该方程没有实数根。
(3) 对于方程$\frac{1}{2}x^2 - 6x = 0$，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-6$，$c=0$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×\frac{1}{2}×0 = 36 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(4) 将方程$x(x - 2\sqrt{3}) = -3$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，
$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 0$，
∴ 该方程有两个相等的实数根。
(1) 对于方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$，
$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-1) = 16 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$5x^2 - 2x + 1 = 0$，
$a=5$，$b=-2$，$c=1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×5×1 = -16 ＜ 0$，
∴ 该方程没有实数根。
(3) 对于方程$\frac{1}{2}x^2 - 6x = 0$，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-6$，$c=0$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×\frac{1}{2}×0 = 36 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(4) 将方程$x(x - 2\sqrt{3}) = -3$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，
$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 0$，
∴ 该方程有两个相等的实数根。