1. 已知$α,β$是一元二次方程$x^2 +5x +6=0$的两个实数根，
则$α+β,αβ$的值是 （）
A.$6,-5$
B.$6,5$
C.$5,-6$
D.$-5,6$
则$α+β,αβ$的值是 （）
A.$6,-5$
B.$6,5$
C.$5,-6$
D.$-5,6$
答案：D
解析：
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$α,β$，则$α+β=-\frac{b}{a}$，$αβ=\frac{c}{a}$。
本题中方程$x^2+5x+6=0$的对应系数为$a=1$，$b=5$，$c=6$，代入可得：
$α+β=-\frac{5}{1}=-5$，$αβ=\frac{6}{1}=6$。
本题中方程$x^2+5x+6=0$的对应系数为$a=1$，$b=5$，$c=6$，代入可得：
$α+β=-\frac{5}{1}=-5$，$αβ=\frac{6}{1}=6$。
2. 若$x=1-\sqrt{2}$是方程$x^2+x+m=0$的一个根，则此方程的另一个根是（）
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$\sqrt{2}-2$
D.$2-\sqrt{2}$
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$\sqrt{2}-2$
D.$2-\sqrt{2}$
答案：C
解析：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$x^2+x+m=0$，根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{1}{1}=-1$。已知一个根为$1-\sqrt{2}$，可得：$(1-\sqrt{2})+x_2=-1$，解得$x_2=-1-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-2$。
3. 小明在解关于$x$的一元二次方程$x^2 -5x +m=0$时误将$-5x$看成$+5x$，解得$x_1=1,x_2=-6$，则原方程的解为。
答案：解：
小明看错后得到的方程为$x^2 + 5x + m = 0$，
由根与系数的关系，得$m = x_1 · x_2 = 1 × (-6) = -6$，
将$m=-6$代入原方程，得$x^2 -5x -6 = 0$，
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
小明看错后得到的方程为$x^2 + 5x + m = 0$，
由根与系数的关系，得$m = x_1 · x_2 = 1 × (-6) = -6$，
将$m=-6$代入原方程，得$x^2 -5x -6 = 0$，
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
4. 若关于$x$的方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$的两根之积是负数，
则$m$的取值范围是。
则$m$的取值范围是。
答案：$\boldsymbol{m ＜ 1}$
解析：
解：
设方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1x_2 = m - 1$。
由题意，方程有两个实根且两根之积为负数，列不等式组：
$\begin{cases}\Delta = 2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0 \\m - 1 ＜ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$4 - 4m + 4 ＞ 0$，
$8 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 2$。
解第二个不等式得$m ＜ 1$。
取两个不等式解集的交集，得$m ＜ 1$。
设方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1x_2 = m - 1$。
由题意，方程有两个实根且两根之积为负数，列不等式组：
$\begin{cases}\Delta = 2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0 \\m - 1 ＜ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$4 - 4m + 4 ＞ 0$，
$8 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 2$。
解第二个不等式得$m ＜ 1$。
取两个不等式解集的交集，得$m ＜ 1$。
5. 已知关于$x$的方程$2x^2 - 5x + p$的一个根为$\frac{1}{2}$，则另一个根为，$p=$。
答案：另一个根为$\boldsymbol{2}$，$p=\boldsymbol{2}$。
解析：
解：设方程$2x^2 - 5x + p = 0$的另一个根为$x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$\frac{5}{2}$，即：
$\frac{1}{2} + x_2 = \frac{5}{2}$
解得$x_2 = 2$。
再根据两根之积为$\frac{p}{2}$，即：
$\frac{1}{2} × 2 = \frac{p}{2}$
解得$p=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$\frac{5}{2}$，即：
$\frac{1}{2} + x_2 = \frac{5}{2}$
解得$x_2 = 2$。
再根据两根之积为$\frac{p}{2}$，即：
$\frac{1}{2} × 2 = \frac{p}{2}$
解得$p=2$。
6. 已知某一元二次方程有两个实数根，且两根之和为$2\sqrt{2}$，两根之积为$-5$，写出这个一元二次方程：.
答案：$\boldsymbol{x^2 - 2\sqrt{2}x -5 = 0}$（答案不唯一，二次项系数不为0的该方程的非零整数倍均正确）
解析：
解：
设该一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系，以$x_1,x_2$为根的一元二次方程可表示为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1+x_2=2\sqrt{2}$，$x_1x_2=-5$代入上式，得：
$x^2 - 2\sqrt{2}x -5 = 0$
验证判别式：$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-5)=8+20=28＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
设该一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系，以$x_1,x_2$为根的一元二次方程可表示为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1+x_2=2\sqrt{2}$，$x_1x_2=-5$代入上式，得：
$x^2 - 2\sqrt{2}x -5 = 0$
验证判别式：$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-5)=8+20=28＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
7. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，若有，求两根的和与两根的积：
(1) $x^2 - 6x + 9 = 0$;
(2) $x(x - 4) + x = 0$;
(3) $5x^2 - 6 = 0$;
(4) $\frac{1}{2}x^2 - 3x - \sqrt{2} = 0$.
(1) $x^2 - 6x + 9 = 0$;
(2) $x(x - 4) + x = 0$;
(3) $5x^2 - 6 = 0$;
(4) $\frac{1}{2}x^2 - 3x - \sqrt{2} = 0$.
答案：解：
(1) 对于方程$x^2 - 6x + 9 = 0$，
$a=1$，$b=-6$，$c=9$，
判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×9 = 0$，
因此方程有两个相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 9$。
(2) 先将方程整理为一般形式：$x^2 - 3x = 0$，
$a=1$，$b=-3$，$c=0$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×0 = 9 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 0$。
(3) 对于方程$5x^2 - 6 = 0$，
$a=5$，$b=0$，$c=-6$，
判别式$\Delta = 0^2 - 4×5×(-6) = 120 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 0$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{6}{5}$。
(4) 对于方程$\frac{1}{2}x^2 - 3x - \sqrt{2} = 0$，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-3$，$c=-\sqrt{2}$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-\sqrt{2}) = 9 + 2\sqrt{2} ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2\sqrt{2}$。
(1) 对于方程$x^2 - 6x + 9 = 0$，
$a=1$，$b=-6$，$c=9$，
判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×9 = 0$，
因此方程有两个相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 9$。
(2) 先将方程整理为一般形式：$x^2 - 3x = 0$，
$a=1$，$b=-3$，$c=0$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×0 = 9 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 0$。
(3) 对于方程$5x^2 - 6 = 0$，
$a=5$，$b=0$，$c=-6$，
判别式$\Delta = 0^2 - 4×5×(-6) = 120 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 0$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{6}{5}$。
(4) 对于方程$\frac{1}{2}x^2 - 3x - \sqrt{2} = 0$，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-3$，$c=-\sqrt{2}$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-\sqrt{2}) = 9 + 2\sqrt{2} ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2\sqrt{2}$。