答案：解：
设方程$x^2 - 2kx - 2k - 4 = 0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$，
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2k$，
$x_1x_2 = -2k - 4$。
由题意两根之差为4，即$|x_1 - x_2| = 4$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 16$，
又因为$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，将韦达定理的结果代入：
$(2k)^2 - 4(-2k - 4) = 16$
整理得：$4k^2 + 8k = 0$，即$k^2 + 2k = 0$，
解得$k_1 = 0$，$k_2 = -2$。
① 当$k=0$时，原方程为$x^2 - 4 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$；
② 当$k=-2$时，原方程为$x^2 + 4x = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
验证得两组解均满足方程有两个实数根的条件。
综上，$k$的值为$0$时，方程的根为$2$和$-2$；$k$的值为$-2$时，方程的根为$0$和$-4$。

答案：解：不存在这样的一元二次方程，理由如下：
假设存在满足条件的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，可构造二次项系数为1的对应方程为$x^2 - 2x + 3 = 0$。
计算该方程的根的判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$
该方程没有实数根，因此不存在两根之和为2，两根之积为3的一元二次方程。