1. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2+2x+1=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是。
答案：解：
∵ 方程$(m-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $m-1≠0$，
解得 $m≠1$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式 $\Delta = 2^2 - 4×(m-1)×1 ＞ 0$，
即 $8-4m＞0$，
解得 $m＜2$。
综上，$m$的取值范围是 $\boldsymbol{m＜2}$ 且 $\boldsymbol{m≠1}$。
∵ 方程$(m-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $m-1≠0$，
解得 $m≠1$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式 $\Delta = 2^2 - 4×(m-1)×1 ＞ 0$，
即 $8-4m＞0$，
解得 $m＜2$。
综上，$m$的取值范围是 $\boldsymbol{m＜2}$ 且 $\boldsymbol{m≠1}$。
2. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x -7=0$的两个实数根，则$x_1^2 + x_2^2$的值是 （）
A.$-39$
B.$39$
C.$25$
D.$-25$
A.$-39$
B.$39$
C.$25$
D.$-25$
答案：B
解析：
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2 -5x -7=0$，可得两根之和$x_1+x_2=5$，两根之积$x_1x_2=-7$。利用完全平方公式变形：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入数值计算得：$x_1^2+x_2^2=5^2 - 2×(-7)=25+14=39$。
3. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程$x^2 -7x +12=0$的一个根，则菱形ABCD的周长为 （）
A.12
B.14
C.16
D.24
A.12
B.14
C.16
D.24
答案：C
解析：
解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$。根据菱形对角线互相垂直平分的性质，长为6的对角线的一半长度为3，若边长$AB=3$，则边长与两条半对角线无法构成有效三角形，不符合几何要求，舍去该解，因此$AB=4$。菱形四条边长度相等，周长为$4×4=16$。
4. 写出两个一元二次方程，使它们都有一个根是1，且一次项系数为－1：.
答案：$x^2 - x = 0$，$2x^2 - x - 1 = 0$（答案不唯一）
解析：
解：设符合要求的一元二次方程为$ax^2 - x + c = 0$（$a≠0$），将根$x=1$代入方程得：
$a·1^2 - 1 + c = 0$，即$a + c = 1$。
取$a=1$，得$c=0$，对应方程为$x^2 - x = 0$；
取$a=2$，得$c=-1$，对应方程为$2x^2 - x - 1 = 0$。
$a·1^2 - 1 + c = 0$，即$a + c = 1$。
取$a=1$，得$c=0$，对应方程为$x^2 - x = 0$；
取$a=2$，得$c=-1$，对应方程为$2x^2 - x - 1 = 0$。
5. 有一首描写周瑜的诗词“大江东去，浪淘尽，千古风流人物；而立之年睿东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为岁。
答案：解：设周瑜去世时年龄的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x-3 $。
根据题意列方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
整理得：
$x^2 - 11x + 30 = 0$
解得：
$x_1=5,\quad x_2=6$
当$ x=5 $时，对应年龄为$ 10×(5-3)+5=25 $，与“而立之年（30岁）睿东吴”的描述矛盾，舍去；
当$ x=6 $时，对应年龄为$ 10×(6-3)+6=36 $，符合题意。
则周瑜去世时的年龄为$\boldsymbol{36}$岁。
根据题意列方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
整理得：
$x^2 - 11x + 30 = 0$
解得：
$x_1=5,\quad x_2=6$
当$ x=5 $时，对应年龄为$ 10×(5-3)+5=25 $，与“而立之年（30岁）睿东吴”的描述矛盾，舍去；
当$ x=6 $时，对应年龄为$ 10×(6-3)+6=36 $，符合题意。
则周瑜去世时的年龄为$\boldsymbol{36}$岁。
6. 用合适的方法解下列方程：
(1) $x(x-4)+x-4=0$；
(2) $2(2x-1)^2=18$；
(3) $x^2-2x-2=2x+1$；
(4) $3x^2-2x-1=0$；
(5) $x^2 - 2\sqrt{7}x +7=0$；
(6) $x(x-1)+6(x-1)+x^2(1-x)=0$；
(1) $x(x-4)+x-4=0$；
(2) $2(2x-1)^2=18$；
(3) $x^2-2x-2=2x+1$；
(4) $3x^2-2x-1=0$；
(5) $x^2 - 2\sqrt{7}x +7=0$；
(6) $x(x-1)+6(x-1)+x^2(1-x)=0$；
答案：解：
(1) 因式分解，得
$(x-4)(x+1)=0$
$x-4=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=4$，$x_2=-1$。
(2) 两边同除以2，得
$(2x-1)^2=9$
直接开平方，得 $2x-1=\pm3$
当 $2x-1=3$ 时，解得 $x=2$；
当 $2x-1=-3$ 时，解得 $x=-1$。
所以 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 移项、整理，得
$x^2-4x-3=0$
移项得 $x^2-4x=3$
配方，得 $x^2-4x+4=3+4$，即 $(x-2)^2=7$
开平方，得 $x-2=\pm\sqrt{7}$
解得 $x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$。
(4) 因式分解，得
$(3x+1)(x-1)=0$
$3x+1=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$。
(5) 由完全平方公式，得
$(x-\sqrt{7})^2=0$
解得 $x_1=x_2=\sqrt{7}$。
(6) 原方程变形为
$x(x-1)+6(x-1)-x^2(x-1)=0$
提取公因式 $(x-1)$，得
$(x-1)(-x^2+x+6)=0$
即 $(x-1)(x-3)(x+2)=0$
$x-1=0$ 或 $x-3=0$ 或 $x+2=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=3$，$x_3=-2$。
(1) 因式分解，得
$(x-4)(x+1)=0$
$x-4=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=4$，$x_2=-1$。
(2) 两边同除以2，得
$(2x-1)^2=9$
直接开平方，得 $2x-1=\pm3$
当 $2x-1=3$ 时，解得 $x=2$；
当 $2x-1=-3$ 时，解得 $x=-1$。
所以 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 移项、整理，得
$x^2-4x-3=0$
移项得 $x^2-4x=3$
配方，得 $x^2-4x+4=3+4$，即 $(x-2)^2=7$
开平方，得 $x-2=\pm\sqrt{7}$
解得 $x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$。
(4) 因式分解，得
$(3x+1)(x-1)=0$
$3x+1=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$。
(5) 由完全平方公式，得
$(x-\sqrt{7})^2=0$
解得 $x_1=x_2=\sqrt{7}$。
(6) 原方程变形为
$x(x-1)+6(x-1)-x^2(x-1)=0$
提取公因式 $(x-1)$，得
$(x-1)(-x^2+x+6)=0$
即 $(x-1)(x-3)(x+2)=0$
$x-1=0$ 或 $x-3=0$ 或 $x+2=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=3$，$x_3=-2$。