7. 三个连续整数中,第一个整数与第三个整数的平方和正好是100.求这三个连续整数.
答案：解：设三个连续整数中第一个整数为x，则另外两个整数分别为x+1，x+2。
根据题意列方程得：
$x^2 + (x+2)^2 = 100$
展开整理得：
$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x+8)(x-6)=0$
解得：
$x_1=6$，$x_2=-8$
当$x=6$时，$x+1=7$，$x+2=8$；
当$x=-8$时，$x+1=-7$，$x+2=-6$。
答：这三个连续整数为6、7、8或-8、-7、-6。
根据题意列方程得：
$x^2 + (x+2)^2 = 100$
展开整理得：
$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x+8)(x-6)=0$
解得：
$x_1=6$，$x_2=-8$
当$x=6$时，$x+1=7$，$x+2=8$；
当$x=-8$时，$x+1=-7$，$x+2=-6$。
答：这三个连续整数为6、7、8或-8、-7、-6。
8. 已知关于$x$的方程$x^2-(m-3)x+m+8=0$的两个实数根的平方和等于13，求$m$的值及此方程的根.
答案：解：设方程$x^2-(m-3)x+m+8=0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$。
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta = [-(m-3)]^2 - 4(m+8) ≥ 0$，
整理得：$m^2 -10m -23 ≥ 0$。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = m-3$，$x_1x_2 = m+8$。
由题意$x_1^2 + x_2^2 =13$，又$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$(m-3)^2 - 2(m+8) =13$
展开整理：
$m^2 -6m +9 -2m -16 =13$
$m^2 -8m -20=0$
因式分解得$(m-10)(m+2)=0$，解得$m_1=10$，$m_2=-2$。
检验：
当$m=10$时，$\Delta=10^2 -10×10 -23=-23＜0$，方程无实数根，舍去；
当$m=-2$时，$\Delta=(-2)^2 -10×(-2)-23=1＞0$，符合条件。
将$m=-2$代入原方程得：
$x^2 +5x +6=0$，
因式分解得$(x+2)(x+3)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-2$。
答：$m$的值为$-2$，方程的根为$x_1=-3$，$x_2=-2$。
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta = [-(m-3)]^2 - 4(m+8) ≥ 0$，
整理得：$m^2 -10m -23 ≥ 0$。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = m-3$，$x_1x_2 = m+8$。
由题意$x_1^2 + x_2^2 =13$，又$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$(m-3)^2 - 2(m+8) =13$
展开整理：
$m^2 -6m +9 -2m -16 =13$
$m^2 -8m -20=0$
因式分解得$(m-10)(m+2)=0$，解得$m_1=10$，$m_2=-2$。
检验：
当$m=10$时，$\Delta=10^2 -10×10 -23=-23＜0$，方程无实数根，舍去；
当$m=-2$时，$\Delta=(-2)^2 -10×(-2)-23=1＞0$，符合条件。
将$m=-2$代入原方程得：
$x^2 +5x +6=0$，
因式分解得$(x+2)(x+3)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-2$。
答：$m$的值为$-2$，方程的根为$x_1=-3$，$x_2=-2$。
9. 某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演,其表演队形随音乐节奏动态调整.一次表演的设计如下:开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列,组成一个正方形方阵.当音乐推进至高潮部分,表演队形发生变化,首先有4个机器人出列,在舞台的最前方担任领舞,其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵.该长方形方阵的列数要比原方阵列数的2倍少1列,行数要比原来方阵行数少4行.应安排多少个机器人参加表演？
答案：解：设原正方形方阵的每边有x个机器人，即原方阵的行数、列数均为x，则参加表演的机器人总数为$x^2$个。
根据题意，得：
$x^2 - 4 = (2x - 1)(x - 4)$
整理方程：
$x^2 - 4 = 2x^2 - 9x + 4$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 8) = 0$
解得：$x_1=1$，$x_2=8$
当$x=1$时，长方形方阵的行数为$x-4=-3$，不符合实际意义，舍去；
当$x=8$时，机器人总数为$x^2=64$，符合题意。
答：应安排64个机器人参加表演。
根据题意，得：
$x^2 - 4 = (2x - 1)(x - 4)$
整理方程：
$x^2 - 4 = 2x^2 - 9x + 4$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 8) = 0$
解得：$x_1=1$，$x_2=8$
当$x=1$时，长方形方阵的行数为$x-4=-3$，不符合实际意义，舍去；
当$x=8$时，机器人总数为$x^2=64$，符合题意。
答：应安排64个机器人参加表演。