答案：解:根据题意,可将$m,n$看作方程$3x^2 -5x -2=0$的两个实数根.
∴ $m+n=\boldsymbol{\frac{5}{3}}$,$mn=\boldsymbol{-\frac{2}{3}}$.
∴ $m^2n + mn^2 = mn(m+n)=\boldsymbol{-\frac{10}{9}}$.
(1) 解：
由$a^2=2a+3$整理得：$a^2 -2a -3=0$，
由$9b^2=6b+3$变形得：$(3b)^2 - 2· 3b -3=0$，
又$\because a≠ 3b$，
$\therefore a$和$3b$可看作一元二次方程$x^2 -2x -3=0$的两个实数根，
由根与系数的关系得：$a· 3b = -3$，
$\therefore ab=-1$。
(2) 解：
将已知两式相加：
$(m+mn+n)+(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 -\frac{a^2}{4}+2a$，
化简得：$2(m+n)=2a-6$，即$m+n=a-3$。
将已知两式相减：
$(m+mn+n)-(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 +\frac{a^2}{4}-2a$，
化简得：$2mn=\frac{a^2}{2}-2a-6$，即$mn=\frac{a^2}{4}-a-3$。
$\therefore m,n$是一元二次方程$x^2-(a-3)x+\frac{a^2}{4}-a-3=0$的两个实数根，
$\therefore$ 该方程的判别式$\Delta≥0$，
即$\Delta=[-(a-3)]^2 -4×1×(\frac{a^2}{4}-a-3)≥0$，
展开计算：
$a^2-6a+9 -a^2 +4a +12≥0$，
$-2a+21≥0$，
解得$a≤10.5$，
$\therefore$ 实数$a$的最大整数值为$10$。