4. 一项水利工程中需要挖一条深沟，每天需要挖掘20 t土，整个工程完毕恰好用了6天.
（1）在工程结束后，需要把所有的土进行回填.在整个回填过程中，平均回填速度v t/天与回填天数t之间有怎样的函数关系？
（2）若要求在3～4天完成回填，求平均每天回填多少吨土.
（1）在工程结束后，需要把所有的土进行回填.在整个回填过程中，平均回填速度v t/天与回填天数t之间有怎样的函数关系？
（2）若要求在3～4天完成回填，求平均每天回填多少吨土.
答案：解：
（1）总土方量为 $20×6=120\ \mathrm{t}$，
由回填总土方量等于日回填速度乘回填天数，得 $vt=120$，
变形得函数关系：$\boldsymbol{v=\dfrac{120}{t}\ (t＞0)}$，是反比例函数。
（2）对反比例函数 $v=\dfrac{120}{t}$，$k=120＞0$，$v$ 随 $t$ 的增大而减小。
当 $t=3$ 时，$v=\dfrac{120}{3}=40$；
当 $t=4$ 时，$v=\dfrac{120}{4}=30$。
因此当 $3≤ t≤4$ 时，$30≤ v≤40$。
答：（1）平均回填速度$v$与回填天数$t$的函数关系为$v=\dfrac{120}{t}(t＞0)$；（2）平均每天回填土的量不少于30吨，且不超过40吨。
（1）总土方量为 $20×6=120\ \mathrm{t}$，
由回填总土方量等于日回填速度乘回填天数，得 $vt=120$，
变形得函数关系：$\boldsymbol{v=\dfrac{120}{t}\ (t＞0)}$，是反比例函数。
（2）对反比例函数 $v=\dfrac{120}{t}$，$k=120＞0$，$v$ 随 $t$ 的增大而减小。
当 $t=3$ 时，$v=\dfrac{120}{3}=40$；
当 $t=4$ 时，$v=\dfrac{120}{4}=30$。
因此当 $3≤ t≤4$ 时，$30≤ v≤40$。
答：（1）平均回填速度$v$与回填天数$t$的函数关系为$v=\dfrac{120}{t}(t＞0)$；（2）平均每天回填土的量不少于30吨，且不超过40吨。
5. 一般情况下一节 40 min 的课中学生的注意力随讲课时间的变化而变化.假设注意力指标数 y 随时间 x min 的变化规律如图所示(其中 CD 为双曲线的一部分):
(1) 分别求线段 AB 和双曲线 CD 的函数表达式；
(2) 有一个知识点需要讲 19 min,为了效果较好,要求注意力指标数不低于 36,那么老师能否在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点？
(1) 分别求线段 AB 和双曲线 CD 的函数表达式；
(2) 有一个知识点需要讲 19 min,为了效果较好,要求注意力指标数不低于 36,那么老师能否在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点？
答案：解：
(1) 设线段AB对应的函数表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
将$A(0,20)$、$B(10,40)$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k + b = 40 \end{cases}$
解得$k=2$，$b=20$。
∴线段AB的函数表达式为 $\boldsymbol{y = 2x + 20 \ (0 ≤ x ≤ 10)}$。
设双曲线CD对应的函数表达式为 $y = \dfrac{m}{x}$（$m ≠ 0$）。
将$C(25,40)$代入表达式，得：
$40 = \dfrac{m}{25}$，解得$m=1000$。
∴双曲线CD的函数表达式为 $\boldsymbol{y = \dfrac{1000}{x} \ (x ≥ 25)}$。
(2) 当注意力指标数$y=36$时：
将$y=36$代入$y=2x+20$，得$2x+20=36$，解得$x=8$。
将$y=36$代入$y=\dfrac{1000}{x}$，得$36=\dfrac{1000}{x}$，解得$x=\dfrac{250}{9}$。
注意力指标数不低于36的总时长为：
$\dfrac{250}{9} - 8 = \dfrac{178}{9} \approx 19.78 \ \mathrm{min}$。
∵$19.78 ＞ 19$，
∴老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。
答：老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。
(1) 设线段AB对应的函数表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
将$A(0,20)$、$B(10,40)$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k + b = 40 \end{cases}$
解得$k=2$，$b=20$。
∴线段AB的函数表达式为 $\boldsymbol{y = 2x + 20 \ (0 ≤ x ≤ 10)}$。
设双曲线CD对应的函数表达式为 $y = \dfrac{m}{x}$（$m ≠ 0$）。
将$C(25,40)$代入表达式，得：
$40 = \dfrac{m}{25}$，解得$m=1000$。
∴双曲线CD的函数表达式为 $\boldsymbol{y = \dfrac{1000}{x} \ (x ≥ 25)}$。
(2) 当注意力指标数$y=36$时：
将$y=36$代入$y=2x+20$，得$2x+20=36$，解得$x=8$。
将$y=36$代入$y=\dfrac{1000}{x}$，得$36=\dfrac{1000}{x}$，解得$x=\dfrac{250}{9}$。
注意力指标数不低于36的总时长为：
$\dfrac{250}{9} - 8 = \dfrac{178}{9} \approx 19.78 \ \mathrm{min}$。
∵$19.78 ＞ 19$，
∴老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。
答：老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。