1. 有下列函数:① $y=\frac{2}{x+1}$,② $2y=-\frac{5}{x}$,③ $y=\frac{3}{x^2}$,④ $2xy=1$,⑤ $y=\frac{x}{2}$,其中,$y$是$x$的反比例函数的有(填序号).
答案：解：根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$）的函数叫做$y$关于$x$的反比例函数，逐一判断：
① $y=\frac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，不是自变量$x$，不符合反比例函数定义；
② 对$2y=-\frac{5}{x}$变形可得$y=\frac{-\frac{5}{2}}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
③ $y=\frac{3}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数定义；
④ 对$2xy=1$变形可得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑤ $y=\frac{x}{2}$是正比例函数，不符合反比例函数定义。
综上，$y$是$x$的反比例函数的有$\boldsymbol{②④}$。
① $y=\frac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，不是自变量$x$，不符合反比例函数定义；
② 对$2y=-\frac{5}{x}$变形可得$y=\frac{-\frac{5}{2}}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
③ $y=\frac{3}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数定义；
④ 对$2xy=1$变形可得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑤ $y=\frac{x}{2}$是正比例函数，不符合反比例函数定义。
综上，$y$是$x$的反比例函数的有$\boldsymbol{②④}$。
2. 已知点$(-3,-4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，下列各点中不在这个函数图象上的是（）
A.$(3,4)$
B.$(-6,-2)$
C.$(2,-6)$
D.$(-4,-3)$
A.$(3,4)$
B.$(-6,-2)$
C.$(2,-6)$
D.$(-4,-3)$
答案：C
解析：
将点$(-3,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得$k=xy=(-3)×(-4)=12$，即该反比例函数为$y=\frac{12}{x}$，图象上任意点的横纵坐标乘积等于12。逐一验证选项：A.$3×4=12$，点在图象上；B.$(-6)×(-2)=12$，点在图象上；C.$2×(-6)=-12≠12$，点不在图象上；D.$(-4)×(-3)=12$，点在图象上。
3. 对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，有以下四个结论:① 函数的图象在第一、三象限;② 函数的图象经过点$(-2,-2)$;③ $y$随$x$的增大而减小;④ 当$x＞-2$时,$y＜-2$. 其中所有正确结论的序号是 ()
A.②④
B.①④
C.②③
D.①②
A.②④
B.①④
C.②③
D.①②
答案：D
解析：
对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$：
1. 因为$k=4＞0$，所以函数图象分布在第一、三象限，结论①正确；
2. 将$x=-2$代入函数解析式，得$y=\frac{4}{-2}=-2$，所以图象经过点$(-2,-2)$，结论②正确；
3. 当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，并非整个定义域内$y$都随$x$增大而减小，结论③错误；
4. 当$x＞-2$时，若$x＞0$，则$y=\frac{4}{x}＞0$，不满足$y＜-2$，结论④错误。
综上，正确结论为①②。
1. 因为$k=4＞0$，所以函数图象分布在第一、三象限，结论①正确；
2. 将$x=-2$代入函数解析式，得$y=\frac{4}{-2}=-2$，所以图象经过点$(-2,-2)$，结论②正确；
3. 当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，并非整个定义域内$y$都随$x$增大而减小，结论③错误；
4. 当$x＞-2$时，若$x＞0$，则$y=\frac{4}{x}＞0$，不满足$y＜-2$，结论④错误。
综上，正确结论为①②。
4. 已知近视眼镜的度数$ D $度与镜片焦距$ f $m之间成反比例函数关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m. 小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4 m的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了度.
答案：$\boldsymbol{150}$
解析：
解：设近视眼镜的度数$D$与镜片焦距$f$的反比例函数关系式为 $D = \frac{k}{f} \ (k ≠ 0)$。
将 $D=400$，$f=0.25$ 代入关系式，得：
$400 = \frac{k}{0.25}$
解得 $k = 400 × 0.25 = 100$，
因此$D$与$f$的函数关系式为 $D = \frac{100}{f}$。
当 $f=0.4$ 时，代入得 $D = \frac{100}{0.4} = 250$，
度数降低了 $400 - 250 = 150$ 度。
最终
将 $D=400$，$f=0.25$ 代入关系式，得：
$400 = \frac{k}{0.25}$
解得 $k = 400 × 0.25 = 100$，
因此$D$与$f$的函数关系式为 $D = \frac{100}{f}$。
当 $f=0.4$ 时，代入得 $D = \frac{100}{0.4} = 250$，
度数降低了 $400 - 250 = 150$ 度。
最终
5. 密度计常用来测量液体的密度. 如图①是一款自制的木棒密度计,将木棒依次放入一系列密度已知的液体中,每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时,在木棒上标出与液面位置相平的刻度
040
线及相应密度值$\rho$,并测量木棒浸入液体的深度$h$,再利用收集的数据画出$\rho$与$h$的关系图象,如图②所示. 根据图象判断,下列说法中正确的是 ()
A.密度$\rho$越大,深度$h$越大
B.若$h_1＜h_3＜h_2$,则$\rho_1＜\rho_3＜\rho_2$
C.密度$\rho$均匀增加时,深度$h$的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上,对应的密度越小
040
线及相应密度值$\rho$,并测量木棒浸入液体的深度$h$,再利用收集的数据画出$\rho$与$h$的关系图象,如图②所示. 根据图象判断,下列说法中正确的是 ()
A.密度$\rho$越大,深度$h$越大
B.若$h_1＜h_3＜h_2$,则$\rho_1＜\rho_3＜\rho_2$
C.密度$\rho$均匀增加时,深度$h$的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上,对应的密度越小
答案：D
解析：
根据密度计始终竖直漂浮，浮力等于自身重力，可得$F_{浮}=G=\rho g S h$，整理得$\rho h=\frac{G}{gS}$，为定值，即$\rho$与$h$成反比例关系：
1. 选项A：由反比例关系可知，密度$\rho$越大，深度$h$越小，A错误；
2. 选项B：若$h_1＜h_3＜h_2$，结合反比例关系可得$\rho_1＞\rho_3＞\rho_2$，B错误；
3. 选项C：$\rho$与$h$为反比例函数，不是一次函数，因此密度$\rho$均匀增加时，深度$h$的变化量不相同，C错误；
4. 选项D：密度计刻度线越往上，木棒浸入液体的深度$h$越大，对应的密度$\rho$越小，D正确。
1. 选项A：由反比例关系可知，密度$\rho$越大，深度$h$越小，A错误；
2. 选项B：若$h_1＜h_3＜h_2$，结合反比例关系可得$\rho_1＞\rho_3＞\rho_2$，B错误；
3. 选项C：$\rho$与$h$为反比例函数，不是一次函数，因此密度$\rho$均匀增加时，深度$h$的变化量不相同，C错误；
4. 选项D：密度计刻度线越往上，木棒浸入液体的深度$h$越大，对应的密度$\rho$越小，D正确。