8. 已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$2x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例.当$x=1$，$x=2$时，$y$的值都为6，请写出$y$关于$x$的函数表达式.
答案：解：
∵ $y_1$与$2x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_1 = 2k_1x$（$k_1≠0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
则 $y = y_1 + y_2 = 2k_1x + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1,y=6$和$x=2,y=6$分别代入上式，得：
$\begin{cases}2k_1 + k_2 = 6 \\4k_1 + \frac{k_2}{2} = 6\end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得 $k_2 = 6 - 2k_1$，代入第二个方程：
$4k_1 + \frac{6-2k_1}{2} = 6$，
化简得 $3k_1 + 3 = 6$，解得 $k_1=1$，
将$k_1=1$代入$k_2=6-2k_1$，得$k_2=4$。
∴ $y$关于$x$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=2x + \frac{4}{x}}$。
∵ $y_1$与$2x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_1 = 2k_1x$（$k_1≠0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
则 $y = y_1 + y_2 = 2k_1x + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1,y=6$和$x=2,y=6$分别代入上式，得：
$\begin{cases}2k_1 + k_2 = 6 \\4k_1 + \frac{k_2}{2} = 6\end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得 $k_2 = 6 - 2k_1$，代入第二个方程：
$4k_1 + \frac{6-2k_1}{2} = 6$，
化简得 $3k_1 + 3 = 6$，解得 $k_1=1$，
将$k_1=1$代入$k_2=6-2k_1$，得$k_2=4$。
∴ $y$关于$x$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=2x + \frac{4}{x}}$。
9. 如图,点$A(2,y_1),B(5,y_2)$在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,$AC⊥y$轴,垂足为$C$,$BD⊥x$轴,垂足为$D$,延长$CA$交$DB$的延长线于点$E$.
(1) 根据图象,直接比较$y_1,y_2$的大小:$y_1$$y_2$;(填“＞”“＜”或“=”)
(2) 若四边形$OCED$的面积为10,求$k$的值;
(3) 在(2)的条件下,若点$P$的坐标是$(2.5,y_3)$,求阴影部分的面积$S_1+S_2$.
(1) 根据图象,直接比较$y_1,y_2$的大小:$y_1$$y_2$;(填“＞”“＜”或“=”)
(2) 若四边形$OCED$的面积为10,求$k$的值;
(3) 在(2)的条件下,若点$P$的坐标是$(2.5,y_3)$,求阴影部分的面积$S_1+S_2$.
答案：解：(1) $\boldsymbol{＞}$
(2) $\because AC⊥ y$轴，$BD⊥ x$轴，延长$CA$交$DB$的延长线于点$E$，
$\therefore$ 四边形$OCED$是矩形，
$\therefore S_{\mathrm{矩形}OCED}=OC· OD=5y_1=10$，
解得 $y_1=2$。
$\because$ 点$A(2,2)$在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=2× 2=4$。
(3) 由(2)得反比例函数解析式为 $y=\frac{4}{x}$，
$\because$ 点$B(5,y_2)$在函数图象上，
$\therefore y_2=\frac{4}{5}=0.8$，
$\because$ 点$P(2.5,y_3)$在函数图象上，
$\therefore y_3=\frac{4}{2.5}=1.6$，
$\therefore S_1=2×(y_1-y_3)=2×(2-1.6)=0.8$，
$S_2=(5-2.5)× y_2=2.5×0.8=2$，
$\therefore S_1+S_2=0.8+2=2.8$。
答：$k$的值为4，阴影部分的面积$S_1+S_2$为2.8。
(2) $\because AC⊥ y$轴，$BD⊥ x$轴，延长$CA$交$DB$的延长线于点$E$，
$\therefore$ 四边形$OCED$是矩形，
$\therefore S_{\mathrm{矩形}OCED}=OC· OD=5y_1=10$，
解得 $y_1=2$。
$\because$ 点$A(2,2)$在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=2× 2=4$。
(3) 由(2)得反比例函数解析式为 $y=\frac{4}{x}$，
$\because$ 点$B(5,y_2)$在函数图象上，
$\therefore y_2=\frac{4}{5}=0.8$，
$\because$ 点$P(2.5,y_3)$在函数图象上，
$\therefore y_3=\frac{4}{2.5}=1.6$，
$\therefore S_1=2×(y_1-y_3)=2×(2-1.6)=0.8$，
$S_2=(5-2.5)× y_2=2.5×0.8=2$，
$\therefore S_1+S_2=0.8+2=2.8$。
答：$k$的值为4，阴影部分的面积$S_1+S_2$为2.8。