5. 校园里有一块矩形空地，空地上有三棵树A,B,C，现想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
（1）请你把花坛的位置找出来（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在花坛内（或外）任找一点D，能否作出过点A,B,C,D的圆？为什么？
（1）请你把花坛的位置找出来（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在花坛内（或外）任找一点D，能否作出过点A,B,C,D的圆？为什么？
答案：解：
(1) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为所求的圆形花坛，保留两条垂直平分线和圆的作图痕迹。
(2) 不能作出过点A,B,C,D的圆。
理由：不在同一直线上的三个点确定一个圆，因此A、B、C三点确定唯一的圆，也就是(1)中所作的圆形花坛对应的圆。点D在花坛内（或外），说明点D不在A、B、C三点所确定的这个圆上，因此不存在同时经过A、B、C、D四个点的圆。
(1) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为所求的圆形花坛，保留两条垂直平分线和圆的作图痕迹。
(2) 不能作出过点A,B,C,D的圆。
理由：不在同一直线上的三个点确定一个圆，因此A、B、C三点确定唯一的圆，也就是(1)中所作的圆形花坛对应的圆。点D在花坛内（或外），说明点D不在A、B、C三点所确定的这个圆上，因此不存在同时经过A、B、C、D四个点的圆。
6. 如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，$\odot O$的半径$OD$，$OE$分别交$BC$，$CA$于点$F$，$G$，$∠ DOE=120°$. 探索四边形$OFCG$的面积(图中阴影部分)与$△ ABC$面积之间的数量关系，并说明理由.(提示:连接$OB$，$OA$)
答案：解：$S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，理由如下：
连接OA、OB。
∵ $△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，
∴ $AB=BC=CA$，
∴ $∠ AOB=\frac{1}{3}×360°=120°$，
$OA=OB=OC$，$∠ OAB=∠ OBA=∠ OBC=∠ OCB=30°$，
∴ $∠ OAG=∠ OBF=30°$。
又∵ $∠ DOE=120°$，
∴ $∠ AOB=∠ DOE$，
即 $∠ AOG + ∠ GOB = ∠ BOF + ∠ GOB$，
∴ $∠ AOG=∠ BOF$。
在$△ AOG$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ OAG=∠ OBF \\OA=OB \\∠ AOG=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ AOG ≌ △ BOF$（ASA），
∴ $S_{△ AOG}=S_{△ BOF}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=S_{△ OAC}$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，$OA=OB=OC$，
∴ $S_{△ OAB}=S_{△ OBC}=S_{△ OAC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$。
连接OA、OB。
∵ $△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，
∴ $AB=BC=CA$，
∴ $∠ AOB=\frac{1}{3}×360°=120°$，
$OA=OB=OC$，$∠ OAB=∠ OBA=∠ OBC=∠ OCB=30°$，
∴ $∠ OAG=∠ OBF=30°$。
又∵ $∠ DOE=120°$，
∴ $∠ AOB=∠ DOE$，
即 $∠ AOG + ∠ GOB = ∠ BOF + ∠ GOB$，
∴ $∠ AOG=∠ BOF$。
在$△ AOG$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ OAG=∠ OBF \\OA=OB \\∠ AOG=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ AOG ≌ △ BOF$（ASA），
∴ $S_{△ AOG}=S_{△ BOF}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=S_{△ OAC}$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，$OA=OB=OC$，
∴ $S_{△ OAB}=S_{△ OBC}=S_{△ OAC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$。