1. 如图，$\odot O$的半径为5，弦AB的长为8，则$△ AOB$的面积为。
答案：$\boldsymbol{12}$
解析：
解：过点O作OC⊥AB于点C。
由垂径定理得，$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
在$Rt△ AOC$中，$OA=5$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
最终
由垂径定理得，$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
在$Rt△ AOC$中，$OA=5$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
最终
2. 如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.已知AB=4,CD=2,圆心O到AB的距离为1,则大圆的半径为,小圆的半径为.
答案：大圆的半径为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$，小圆的半径为$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
解析：
解：
过点O作OE⊥AB于点E。
由垂径定理可得：
$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 2 = 1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OE=1$，$AE=2$，
大圆半径$OA = \sqrt{AE^2 + OE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ COE$中，$OE=1$，$CE=1$，
小圆半径$OC = \sqrt{CE^2 + OE^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
最终
过点O作OE⊥AB于点E。
由垂径定理可得：
$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 2 = 1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OE=1$，$AE=2$，
大圆半径$OA = \sqrt{AE^2 + OE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ COE$中，$OE=1$，$CE=1$，
小圆半径$OC = \sqrt{CE^2 + OE^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
最终
3. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12 m，轮子的吃水深度CD为3 m，则该浆轮船的轮子半径为 （）
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.7.5 m
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.7.5 m
答案：D
解析：
连接OA，设该桨轮船的轮子半径为r m，则OA=OC=r，OD = r - CD = r - 3。根据垂径定理，OC⊥AB，可得AD = 1/2 AB = 6 m。在Rt△OAD中，由勾股定理得：$r^2=(r-3)^2 + 6^2$，展开化简得$6r=45$，解得$r=7.5$。
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$，以点$C$为圆心，$AC$为半径的圆交$AB$于点$D$，则$AD$的长为（）
A.9
B.10
C.10.8
D.12
A.9
B.10
C.10.8
D.12
答案：C
解析：
过点C作CE⊥AD于点E，根据垂径定理可得AE=DE。
1. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(9²+12²)=15；
2. 由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，代入数值解得$CE=\frac{9×12}{15}=\frac{36}{5}$；
3. 在Rt△ACE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{9^2-(\frac{36}{5})^2}=\frac{27}{5}=5.4$；
4. 因此AD=2AE=10.8。
1. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(9²+12²)=15；
2. 由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，代入数值解得$CE=\frac{9×12}{15}=\frac{36}{5}$；
3. 在Rt△ACE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{9^2-(\frac{36}{5})^2}=\frac{27}{5}=5.4$；
4. 因此AD=2AE=10.8。