5. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$，垂足分别为D，E. DE与BC有何关系？说明理由.
答案：解：$DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$，理由如下：
$\because OD ⊥ AB$，$OD$是$\odot O$的半径，
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，即$AD = DB$。
同理，$\because OE ⊥ AC$，$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore E$是$AC$的中点，即$AE = EC$。
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$。
$\because OD ⊥ AB$，$OD$是$\odot O$的半径，
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，即$AD = DB$。
同理，$\because OE ⊥ AC$，$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore E$是$AC$的中点，即$AE = EC$。
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$。
6. 如图，杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱宸桥，桥面呈拱形.该桥最中间拱洞的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2 m，拱高（桥拱圆弧的中点到圆弧所对的弦的距离）约为2 m，求此桥拱的半径.
答案：解：设桥拱圆弧所在圆的圆心为O，半径为r m，桥拱圆弧所对的弦为AB，点C为桥拱圆弧的中点。
连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理推论可知：OC⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB$。
由题意得$AB=3.2\ \mathrm{m}$，$CD=2\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}×3.2=1.6\ \mathrm{m}$，
$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
即 $r^2=1.6^2+(r-2)^2$
展开得 $r^2=2.56+r^2-4r+4$
化简得 $4r=6.56$
解得 $r=1.64$
答：此桥拱的半径为$1.64\ \mathrm{m}$。
连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理推论可知：OC⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB$。
由题意得$AB=3.2\ \mathrm{m}$，$CD=2\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}×3.2=1.6\ \mathrm{m}$，
$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
即 $r^2=1.6^2+(r-2)^2$
展开得 $r^2=2.56+r^2-4r+4$
化简得 $4r=6.56$
解得 $r=1.64$
答：此桥拱的半径为$1.64\ \mathrm{m}$。
7. 如图,点P是⊙O内一定点.
(1) 过点P作弦AB,使点P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹).
(2) 已知⊙O的半径为13,OP=5.
① 求过点P的弦的长度m范围.
② 过点P的弦中,长度为整数的弦有条.
(1) 过点P作弦AB,使点P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹).
(2) 已知⊙O的半径为13,OP=5.
① 求过点P的弦的长度m范围.
② 过点P的弦中,长度为整数的弦有条.
答案：解：
(1) 连接OP，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求，保留作图痕迹。
(2) ① 过点P的最长弦为⊙O的直径，长度为$2×13=26$。
连接OA，由垂径定理，过点P且垂直于OP的弦是过点P的最短弦：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
则最短弦长$AB=2AP=24$。
因此过点P的弦的长度$m$的范围是$\boldsymbol{24≤ m≤26}$。
② $\boldsymbol{4}$
(1) 连接OP，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求，保留作图痕迹。
(2) ① 过点P的最长弦为⊙O的直径，长度为$2×13=26$。
连接OA，由垂径定理，过点P且垂直于OP的弦是过点P的最短弦：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
则最短弦长$AB=2AP=24$。
因此过点P的弦的长度$m$的范围是$\boldsymbol{24≤ m≤26}$。
② $\boldsymbol{4}$