5. 如图，AB是$\odot O$的直径，D是$\odot O$上的任意一点（不与点A，B重合），延长BD到点C，使$DC=BD$，判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案：解：$△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
连接$AD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$D$是$\odot O$上的点，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
即 $AD⊥ BC$。
又∵ $DC=BD$，
∴ $AD$垂直平分线段$BC$，
∴ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形。
连接$AD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$D$是$\odot O$上的点，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
即 $AD⊥ BC$。
又∵ $DC=BD$，
∴ $AD$垂直平分线段$BC$，
∴ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形。
6. 如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，∠ABC=50°，求∠BAD的度数.
答案：解：连接BD。
∵ AB是半圆的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ ∠ABC = 50°，
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°。
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 25° = 65°。
答：∠BAD的度数为65°。
∵ AB是半圆的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ ∠ABC = 50°，
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°。
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 25° = 65°。
答：∠BAD的度数为65°。
7. 如图，BD，CE是锐角三角形ABC的高，连接DE.
（1）点B，C，D，E四点是否在同一个圆上？说明理由.
（2）利用（1）中的结论，证明$∠ ADE=∠ ABC$.
（1）点B，C，D，E四点是否在同一个圆上？说明理由.
（2）利用（1）中的结论，证明$∠ ADE=∠ ABC$.
答案：解：(1) 点B，C，D，E四点在同一个圆上，理由如下：
取BC的中点O，连接OD，OE。
∵ BD，CE是锐角三角形ABC的高，
∴ ∠BDC=∠BEC=90°。
在Rt△BDC中，O是斜边BC的中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}BC=OB=OC$。
在Rt△BEC中，O是斜边BC的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}BC=OB=OC$。
∴ OB=OC=OD=OE，
∴ 点B，C，D，E在以O为圆心，OB为半径的同一个圆上。
(2) 证明：由(1)得，点B，C，D，E四点共圆，
∴ 四边形BCDE是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠EDC = 180°。
又∵ 点A，D，C共线，
∴ ∠ADE + ∠EDC = 180°。
∴ ∠ADE=∠ABC。
取BC的中点O，连接OD，OE。
∵ BD，CE是锐角三角形ABC的高，
∴ ∠BDC=∠BEC=90°。
在Rt△BDC中，O是斜边BC的中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}BC=OB=OC$。
在Rt△BEC中，O是斜边BC的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}BC=OB=OC$。
∴ OB=OC=OD=OE，
∴ 点B，C，D，E在以O为圆心，OB为半径的同一个圆上。
(2) 证明：由(1)得，点B，C，D，E四点共圆，
∴ 四边形BCDE是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠EDC = 180°。
又∵ 点A，D，C共线，
∴ ∠ADE + ∠EDC = 180°。
∴ ∠ADE=∠ABC。