1. 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，连接AC，$∠ A = 35°$，过点C作$\odot O$的切线CP，交AB的延长线于点P，则$∠ P$的度数是（）
A.$20°$
B.$25°$
C.$32°$
D.$35°$
A.$20°$
B.$25°$
C.$32°$
D.$35°$
答案：A
解析：
连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=35°，可得∠COP=∠A+∠OCA=70°。∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，即∠OCP=90°。在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=90°-70°=20°。
2. 如图,在$△ POM$中,点$M$在$\odot O$上,点$P$在$\odot O$外,$OP$交$\odot O$于点$N$,以下条件不能判定$PM$是$\odot O$的切线的是 （）
A.$∠ O+∠ P=90°$
B.$∠ O+∠ P=∠ OMP$
C.$OM^2+PM^2=OP^2$
D.点$N$是$OP$的中点
A.$∠ O+∠ P=90°$
B.$∠ O+∠ P=∠ OMP$
C.$OM^2+PM^2=OP^2$
D.点$N$是$OP$的中点
答案：D
解析：
要判定PM是⊙O的切线，需证明OM⊥PM，即∠OMP=90°，逐一分析选项：
1. 选项A：在△POM中，∠O+∠P=90°，由三角形内角和为180°，得∠OMP=180°-(∠O+∠P)=90°，即OM⊥PM，可判定PM是切线。
2. 选项B：已知∠O+∠P=∠OMP，结合三角形内角和∠O+∠P+∠OMP=180°，代入得2∠OMP=180°，即∠OMP=90°，OM⊥PM，可判定PM是切线。
3. 选项C：由OM²+PM²=OP²，根据勾股定理逆定理，得△OMP是直角三角形，∠OMP=90°，OM⊥PM，可判定PM是切线。
4. 选项D：点N是OP的中点，仅能推出OP=2ON=2OM，无法推出∠OMP=90°，不能判定PM是⊙O的切线。
1. 选项A：在△POM中，∠O+∠P=90°，由三角形内角和为180°，得∠OMP=180°-(∠O+∠P)=90°，即OM⊥PM，可判定PM是切线。
2. 选项B：已知∠O+∠P=∠OMP，结合三角形内角和∠O+∠P+∠OMP=180°，代入得2∠OMP=180°，即∠OMP=90°，OM⊥PM，可判定PM是切线。
3. 选项C：由OM²+PM²=OP²，根据勾股定理逆定理，得△OMP是直角三角形，∠OMP=90°，OM⊥PM，可判定PM是切线。
4. 选项D：点N是OP的中点，仅能推出OP=2ON=2OM，无法推出∠OMP=90°，不能判定PM是⊙O的切线。
3. 如图，AB，AC是⊙O的切线，切点分别为B，C.已知点D在⊙O上，∠A=80°，则∠D=°.
答案：$\boldsymbol{50}$
解析：
解：连接OB，OC。
∵ AB，AC是⊙O的切线，切点分别为B，C，
∴ OB⊥AB，OC⊥AC，即∠ABO=∠ACO=90°。
∵ 四边形ABOC的内角和为360°，
∴ ∠BOC = 360° - ∠A - ∠ABO - ∠ACO = 360° - 80° - 90° - 90° = 100°。
∵ ∠D是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴ ∠D = $\frac{1}{2}$∠BOC = 50°。
∵ AB，AC是⊙O的切线，切点分别为B，C，
∴ OB⊥AB，OC⊥AC，即∠ABO=∠ACO=90°。
∵ 四边形ABOC的内角和为360°，
∴ ∠BOC = 360° - ∠A - ∠ABO - ∠ACO = 360° - 80° - 90° - 90° = 100°。
∵ ∠D是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴ ∠D = $\frac{1}{2}$∠BOC = 50°。
4. 如图，已知AB是$\odot O$的直径，$∠ BAC=2∠ B$，$\odot O$的切线AP与OC的延长线相交于点P，若$PA=\sqrt{3}$，则AC的长为。
答案：$\boldsymbol{1}$
解析：
解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠BAC + ∠B = 90°。
又∵ ∠BAC=2∠B，
∴ 3∠B=90°，解得∠B=30°，∠BAC=60°。
∵ OA=OC，
∴ △OAC是等边三角形，
∴ AC=OA，∠AOC=60°。
∵ AP是⊙O的切线，
∴ OA⊥AP，即∠OAP=90°。
在Rt△OAP中，∠AOP=60°，PA=√3，
$\tan∠ AOP=\frac{PA}{OA}$，即$\tan60°=\frac{\sqrt{3}}{OA}$，
∴ $\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{OA}$，解得OA=1，
∴ AC=OA=1。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠BAC + ∠B = 90°。
又∵ ∠BAC=2∠B，
∴ 3∠B=90°，解得∠B=30°，∠BAC=60°。
∵ OA=OC，
∴ △OAC是等边三角形，
∴ AC=OA，∠AOC=60°。
∵ AP是⊙O的切线，
∴ OA⊥AP，即∠OAP=90°。
在Rt△OAP中，∠AOP=60°，PA=√3，
$\tan∠ AOP=\frac{PA}{OA}$，即$\tan60°=\frac{\sqrt{3}}{OA}$，
∴ $\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{OA}$，解得OA=1，
∴ AC=OA=1。