5. 如图，AB是$\odot O$的直径，半径$OC⊥ AB$，垂足为$O$，$P$是$AB$延长线上的一点，$PD$与$\odot O$相切于点$D$，$CD$与$AB$相交于点$E$，判断$△ PDE$的形状，并说明理由。
答案：解：$△ PDE$是等腰三角形，理由如下：
连接$OD$，
$\because PD$与$\odot O$相切于点$D$，
$\therefore OD⊥ PD$，即$∠ ODP=90°$，
$\therefore ∠ PDE + ∠ ODC = 90°$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ COE=90°$，
$\therefore ∠ OEC + ∠ C = 90°$。
$\because OC=OD$，
$\therefore ∠ C=∠ ODC$，
$\therefore ∠ PDE = ∠ OEC$。
又$\because ∠ OEC=∠ PED$，
$\therefore ∠ PDE=∠ PED$，
$\therefore PD=PE$，
$\therefore △ PDE$是等腰三角形。
连接$OD$，
$\because PD$与$\odot O$相切于点$D$，
$\therefore OD⊥ PD$，即$∠ ODP=90°$，
$\therefore ∠ PDE + ∠ ODC = 90°$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ COE=90°$，
$\therefore ∠ OEC + ∠ C = 90°$。
$\because OC=OD$，
$\therefore ∠ C=∠ ODC$，
$\therefore ∠ PDE = ∠ OEC$。
又$\because ∠ OEC=∠ PED$，
$\therefore ∠ PDE=∠ PED$，
$\therefore PD=PE$，
$\therefore △ PDE$是等腰三角形。
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，F是$\odot O$上的点，C是BF的中点，过点C作$CE⊥ AF$，垂足为E，延长EC，交AB的延长线于点D.
（1）CE是$\odot O$的切线吗？说明理由.
（2）若$AD=8$，$CD=4$，求CE的长.
（1）CE是$\odot O$的切线吗？说明理由.
（2）若$AD=8$，$CD=4$，求CE的长.
答案：解：
（1）CE是$\odot O$的切线，理由如下：
连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{BF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC//AE，
∵CE⊥AF，
∴CE⊥OC，
又∵OC是$\odot O$的半径，
∴CE是$\odot O$的切线。
（2）设$\odot O$的半径为r，则OA=OC=r，
∵AD=8，
∴OD=AD - OA=8 - r，
由（1）知∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
$OC^2 + CD^2 = OD^2$，
∵CD=4，
∴$r^2 + 4^2 = (8 - r)^2$，
解得r=3，
∴OC=3，OD=8 - 3=5，
∵OC//AE，
∴△DOC∽△DAE，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{OD}{AD}$，
即$\frac{4}{DE}=\frac{5}{8}$，
解得$DE=\frac{32}{5}$，
∴$CE=DE - CD=\frac{32}{5}-4=\frac{12}{5}$。
综上，CE的长为$\frac{12}{5}$。
（1）CE是$\odot O$的切线，理由如下：
连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{BF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC//AE，
∵CE⊥AF，
∴CE⊥OC，
又∵OC是$\odot O$的半径，
∴CE是$\odot O$的切线。
（2）设$\odot O$的半径为r，则OA=OC=r，
∵AD=8，
∴OD=AD - OA=8 - r，
由（1）知∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
$OC^2 + CD^2 = OD^2$，
∵CD=4，
∴$r^2 + 4^2 = (8 - r)^2$，
解得r=3，
∴OC=3，OD=8 - 3=5，
∵OC//AE，
∴△DOC∽△DAE，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{OD}{AD}$，
即$\frac{4}{DE}=\frac{5}{8}$，
解得$DE=\frac{32}{5}$，
∴$CE=DE - CD=\frac{32}{5}-4=\frac{12}{5}$。
综上，CE的长为$\frac{12}{5}$。
7. 如图，直线AB，CD相交于点O，$∠ AOD=30°$，半径为2 cm的$\odot P$的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10 cm处。如果$\odot P$以2 cm/s的速度沿直线由点A向点B的方向移动，$\odot P$与直线CD相切时恰好经过了（）
A.3 s
B.7 s
C.3 s或7 s
D.6 s或14 s
A.3 s
B.7 s
C.3 s或7 s
D.6 s或14 s
答案：C
解析：
当⊙P与直线CD相切时，过圆心P作PE⊥CD于点E，则PE=2cm，等于圆的半径。
∵∠AOD=30°，在Rt△POE中，∠POE=30°，∴OP=2PE=4cm。
分两种情况计算：
1. 圆心P在点O左侧，满足OP=4cm时，⊙P移动的距离为10-4=6cm，运动时间$t_1=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$；
2. 圆心P在点O右侧，满足OP=4cm时，⊙P移动的距离为10+4=14cm，运动时间$t_2=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{s}$。
因此⊙P与直线CD相切时经过的时间为3s或7s。
∵∠AOD=30°，在Rt△POE中，∠POE=30°，∴OP=2PE=4cm。
分两种情况计算：
1. 圆心P在点O左侧，满足OP=4cm时，⊙P移动的距离为10-4=6cm，运动时间$t_1=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$；
2. 圆心P在点O右侧，满足OP=4cm时，⊙P移动的距离为10+4=14cm，运动时间$t_2=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{s}$。
因此⊙P与直线CD相切时经过的时间为3s或7s。