答案：解：
(1) 连接OA，
∵ AB与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥AB，即∠OAB=90°。
∵ OD是⊙O的半径，∴ OD=OA，
又∵ OD=BD，∴ OB=OD+BD=2OD=2OA。
设⊙O的半径为r，则OA=r，OB=2r，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$OA^2 + AB^2 = OB^2$
即 $r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$，
解得 $r=3$（$r=-3$舍去），
∴ ⊙O的半径为3。
(2) 在Rt△OAB中，OB=2OA，
∴ $\sin B = \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}$，
∴ ∠B=30°，
∴ ∠AOB=90°-∠B=60°，
∵ OA=OC，
∴ ∠ACB=∠OAC，
又∵ ∠AOB是△AOC的外角，
∴ ∠AOB=∠ACB+∠OAC=2∠ACB，
∴ ∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
(3) $S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × AB × OA = \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$，
扇形OAD的圆心角∠AOD=60°，半径r=3，
∴ $S_{\mathrm{扇形}OAD} = \frac{60π × 3^2}{360} = \frac{3π}{2}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ OAB} - S_{\mathrm{扇形}OAD} = \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3π}{2} = \frac{9\sqrt{3}-3π}{2}$。

答案：解：
连接OC，OD。
∵ 直径AB=10，
∴ OC=OD=OB=5，
∴ CD=√2 OB=5√2。
在△OCD中，OC² + OD² = 5² + 5² = 50，CD²=(5√2)²=50，
∴ OC² + OD² = CD²，
∴ ∠COD=90°。
∵ CD//AB，
∴ 点B和点O到弦CD的距离相等，可得S△BCD = S△OCD，
∴ 阴影部分的面积 = S扇形COD = $\frac{90π × 5^2}{360} = \frac{25π}{4}$。
答：阴影部分的面积为$\frac{25π}{4}$。