5. 如图，圆锥的轴截面(图中的△SAB)是等边三角形，高为$4\sqrt{3}$，求这个圆锥的侧面积和表面积(结果保留π)。
答案：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l。
∵ 圆锥的轴截面△SAB是等边三角形，SO是圆锥的高，SO=4√3，
∴ l = SA = AB = 2r，SO⊥AB。
在Rt△SOA中，由勾股定理得：
$OA^2 + SO^2 = SA^2$
即 $r^2 + (4\sqrt{3})^2 = l^2$
将l=2r代入，得：
$r^2 + 48 = 4r^2$
解得r=4（r＞0），
∴ l=2r=8。
圆锥的侧面积$S_{侧}=π rl=π × 4 × 8=32π$，
圆锥的底面积$S_{底}=π r^2=π × 4^2=16π$，
圆锥的表面积$S_{表}=S_{侧}+S_{底}=32π+16π=48π$。
答：这个圆锥的侧面积为32π，表面积为48π。
∵ 圆锥的轴截面△SAB是等边三角形，SO是圆锥的高，SO=4√3，
∴ l = SA = AB = 2r，SO⊥AB。
在Rt△SOA中，由勾股定理得：
$OA^2 + SO^2 = SA^2$
即 $r^2 + (4\sqrt{3})^2 = l^2$
将l=2r代入，得：
$r^2 + 48 = 4r^2$
解得r=4（r＞0），
∴ l=2r=8。
圆锥的侧面积$S_{侧}=π rl=π × 4 × 8=32π$，
圆锥的底面积$S_{底}=π r^2=π × 4^2=16π$，
圆锥的表面积$S_{表}=S_{侧}+S_{底}=32π+16π=48π$。
答：这个圆锥的侧面积为32π，表面积为48π。
6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=3,BC=4$.
(1) 分别以 $AC,BC$ 所在直线为轴,把 $△ ABC$ 旋转1周,得到两个不同的圆锥.求这两个圆锥的侧面积(结果保留 $π$).
(2) 以 $AB$ 所在直线为轴,把 $△ ABC$ 旋转1周,求所得几何体的表面积(结果保留 $π$).
(1) 分别以 $AC,BC$ 所在直线为轴,把 $△ ABC$ 旋转1周,得到两个不同的圆锥.求这两个圆锥的侧面积(结果保留 $π$).
(2) 以 $AB$ 所在直线为轴,把 $△ ABC$ 旋转1周,求所得几何体的表面积(结果保留 $π$).
答案：解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(1) 以$AC$所在直线为轴旋转1周时：
圆锥的底面半径$r_1=BC=4$，母线长$l=AB=5$，
侧面积$S_1=π r_1 l=π × 4 × 5=20π$。
以$BC$所在直线为轴旋转1周时：
圆锥的底面半径$r_2=AC=3$，母线长$l=AB=5$，
侧面积$S_2=π r_2 l=π × 3 × 5=15π$。
(2) 过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，
由三角形面积公式：$\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
得 $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
以$AB$所在直线为轴旋转1周，所得几何体为两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$CD=\frac{12}{5}$，母线长分别为$AC=3$、$BC=4$，
因此所得几何体的表面积：
$S=π· CD· AC + π· CD· BC=π×\frac{12}{5}×3 + π×\frac{12}{5}×4=\frac{84π}{5}$。
答：(1) 以$AC$为轴的圆锥侧面积为$20π$，以$BC$为轴的圆锥侧面积为$15π$；(2) 以$AB$为轴旋转所得几何体的表面积为$\frac{84π}{5}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(1) 以$AC$所在直线为轴旋转1周时：
圆锥的底面半径$r_1=BC=4$，母线长$l=AB=5$，
侧面积$S_1=π r_1 l=π × 4 × 5=20π$。
以$BC$所在直线为轴旋转1周时：
圆锥的底面半径$r_2=AC=3$，母线长$l=AB=5$，
侧面积$S_2=π r_2 l=π × 3 × 5=15π$。
(2) 过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，
由三角形面积公式：$\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
得 $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
以$AB$所在直线为轴旋转1周，所得几何体为两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$CD=\frac{12}{5}$，母线长分别为$AC=3$、$BC=4$，
因此所得几何体的表面积：
$S=π· CD· AC + π· CD· BC=π×\frac{12}{5}×3 + π×\frac{12}{5}×4=\frac{84π}{5}$。
答：(1) 以$AC$为轴的圆锥侧面积为$20π$，以$BC$为轴的圆锥侧面积为$15π$；(2) 以$AB$为轴旋转所得几何体的表面积为$\frac{84π}{5}$。
7. 如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆。若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB=。
答案：$\boldsymbol{3:2}$
解析：
解：设AB的长为R，圆锥底面圆的半径为r。
∵ 四边形ABFE是正方形，
∴ AB=AE=R，
扇形ABF的圆心角为90°，其弧长为：
$l=\frac{90π R}{180}=\frac{1}{2}π R$。
∵ 该扇形作为圆锥的侧面，弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴ $2π r=\frac{1}{2}π R$，
解得$r=\frac{R}{4}$。
∵ 矩形EFCD中半径最大的圆为圆锥的底面，
∴ 该圆的直径等于ED的长度，即$ED=2r=\frac{R}{2}$。
∴ $AD=AE+ED=R+\frac{R}{2}=\frac{3}{2}R$，
∴ $AD:AB=\frac{3}{2}R:R=3:2$。
最终
∵ 四边形ABFE是正方形，
∴ AB=AE=R，
扇形ABF的圆心角为90°，其弧长为：
$l=\frac{90π R}{180}=\frac{1}{2}π R$。
∵ 该扇形作为圆锥的侧面，弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴ $2π r=\frac{1}{2}π R$，
解得$r=\frac{R}{4}$。
∵ 矩形EFCD中半径最大的圆为圆锥的底面，
∴ 该圆的直径等于ED的长度，即$ED=2r=\frac{R}{2}$。
∴ $AD=AE+ED=R+\frac{R}{2}=\frac{3}{2}R$，
∴ $AD:AB=\frac{3}{2}R:R=3:2$。
最终