1. 正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，$\sqrt{2}$为半径作圆，则$\odot A$与直线CD的位置关系是________，$\odot A$与直线BD的位置关系是________。
答案：相离；相切
解析：
解：
正方形ABCD的边长为2：
1. 点A到直线CD的垂线段为AD，长度d₁=AD=2。
已知⊙A的半径r=√2，由2＞√2，即d₁＞r，可得⊙A与直线CD的位置关系是相离。
2. 在等腰Rt△ABD中，AB=AD=2，斜边BD=$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，点A到直线BD的距离d₂为斜边BD上的高，计算得$d_2=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{2×2}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
由d₂=r=√2，可得⊙A与直线BD的位置关系是相切。
正方形ABCD的边长为2：
1. 点A到直线CD的垂线段为AD，长度d₁=AD=2。
已知⊙A的半径r=√2，由2＞√2，即d₁＞r，可得⊙A与直线CD的位置关系是相离。
2. 在等腰Rt△ABD中，AB=AD=2，斜边BD=$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，点A到直线BD的距离d₂为斜边BD上的高，计算得$d_2=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{2×2}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
由d₂=r=√2，可得⊙A与直线BD的位置关系是相切。
2. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ ACB = 40°$,则$∠ OAB =$ °.
答案：$\boldsymbol{50}$
解析：
解：连接OB，
∵ ∠ACB和∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×40° = 80°，
又∵ OA = OB，
∴ ∠OAB = ∠OBA，
∴ ∠OAB = $\frac{180° - ∠ AOB}{2}$ = $\frac{180° - 80°}{2}$ = 50°。
∵ ∠ACB和∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×40° = 80°，
又∵ OA = OB，
∴ ∠OAB = ∠OBA，
∴ ∠OAB = $\frac{180° - ∠ AOB}{2}$ = $\frac{180° - 80°}{2}$ = 50°。
3. 如图，在$△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=OB=3\sqrt{2}$，$P$是$AB$上的一个动点，过点$P$作半径为1的$\odot O$的切线，切点为$Q$，则$PQ$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
解析：
解：连接OQ、OP。
∵ PQ是半径为1的⊙O的切线，
∴ OQ⊥PQ，且OQ=1。
由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$，即$PQ=\sqrt{OP^2 - 1}$。
因此当OP取最小值时，PQ取得最小值。
在△AOB中，∠AOB=90°，$OA=OB=3\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2}=6$。
根据垂线段最短的性质，当OP⊥AB时，OP的长度最小。
由三角形面积公式：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}AB· OP$，
代入数值解得最小的$OP=\frac{3\sqrt{2}× 3\sqrt{2}}{6}=3$。
将OP=3代入PQ的表达式，得PQ的最小值为$\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
∵ PQ是半径为1的⊙O的切线，
∴ OQ⊥PQ，且OQ=1。
由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$，即$PQ=\sqrt{OP^2 - 1}$。
因此当OP取最小值时，PQ取得最小值。
在△AOB中，∠AOB=90°，$OA=OB=3\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2}=6$。
根据垂线段最短的性质，当OP⊥AB时，OP的长度最小。
由三角形面积公式：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}AB· OP$，
代入数值解得最小的$OP=\frac{3\sqrt{2}× 3\sqrt{2}}{6}=3$。
将OP=3代入PQ的表达式，得PQ的最小值为$\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
4. 若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则它的外接圆的半径为，内切圆的半径为。
答案：$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{2}$
解析：
解：
由勾股定理，得该直角三角形的斜边长为 $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
∵ 直角三角形的外接圆直径等于其斜边长，
∴ 外接圆的半径为 $\frac{10}{2} = 5$。
设内切圆半径为$r$，根据三角形面积的两种表示方法：
该直角三角形面积 $S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，
同时 $S = \frac{1}{2} × (6+8+10) · r$，
代入得 $24 = 12r$，解得 $r=2$。
由勾股定理，得该直角三角形的斜边长为 $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
∵ 直角三角形的外接圆直径等于其斜边长，
∴ 外接圆的半径为 $\frac{10}{2} = 5$。
设内切圆半径为$r$，根据三角形面积的两种表示方法：
该直角三角形面积 $S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，
同时 $S = \frac{1}{2} × (6+8+10) · r$，
代入得 $24 = 12r$，解得 $r=2$。
5. 圆锥的底面半径为2，母线长为3，它的侧面积为 （）
A.$2π$
B.$3π$
C.$6π$
D.$12π$
A.$2π$
B.$3π$
C.$6π$
D.$12π$
答案：C
解析：
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$，其中$r$为底面半径，$l$为母线长。将$r=2$，$l=3$代入公式，可得$S_{侧}=π×2×3=6π$。
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ C=67.5°$,以$AB$为直径的半圆与$BC$,$AC$分别相交于点$D$,$E$,则$\overset{\frown}{AE}$的度数为 （）
A.$40°$
B.$50°$
C.$90°$
D.$100°$
A.$40°$
B.$50°$
C.$90°$
D.$100°$
答案：C
解析：
连接AD、OE，
1. 由AB=AC，得∠B=∠C=67.5°，计算得∠BAC=180°-2×67.5°=45°。
2. 因为AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ADB=90°，即AD⊥BC。
3. 由OA、OE均为半圆的半径，得OA=OE，因此∠OEA=∠OAE=45°，计算得圆心角∠AOE=180°-45°×2=90°。
4. 根据弧的度数等于其所对圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{AE}$的度数为90°。
1. 由AB=AC，得∠B=∠C=67.5°，计算得∠BAC=180°-2×67.5°=45°。
2. 因为AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ADB=90°，即AD⊥BC。
3. 由OA、OE均为半圆的半径，得OA=OE，因此∠OEA=∠OAE=45°，计算得圆心角∠AOE=180°-45°×2=90°。
4. 根据弧的度数等于其所对圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{AE}$的度数为90°。
7. 如图，$∠ AOB = 45°$，点C在OB上，$OC = 8$. 若以点C为圆心，r为半径的圆与OA相切，则r等于（）
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.8
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.8
答案：B
解析：
过点C作CD⊥OA于点D，因为以点C为圆心的圆与OA相切，所以半径r等于点C到OA的距离CD。在Rt△OCD中，∠AOB=45°，OC=8，可得CD=OC·sin45°=8×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$4\sqrt{2}$，即r=$4\sqrt{2}$。