11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5$,$AC=3$,分别以$AC$,$BC$,$AB$为直径作半圆.求图中阴影部分的面积.
答案：解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$AC=3$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
分别计算三个半圆的面积：
以$AC$为直径的半圆面积：$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2=\frac{1}{2}π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{8}$，
以$BC$为直径的半圆面积：$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{BC}{2})^2=\frac{1}{2}π×(\frac{4}{2})^2=2π$，
以$AB$为直径的半圆面积：$S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{AB}{2})^2=\frac{1}{2}π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{8}$。
可得$S_1 + S_2 = \frac{9π}{8}+2π=\frac{25π}{8}=S_3$。
阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_1 + S_2 + S_{△ ABC} - S_3$
$= S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
答：图中阴影部分的面积为$\boldsymbol{6}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$AC=3$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
分别计算三个半圆的面积：
以$AC$为直径的半圆面积：$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2=\frac{1}{2}π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{8}$，
以$BC$为直径的半圆面积：$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{BC}{2})^2=\frac{1}{2}π×(\frac{4}{2})^2=2π$，
以$AB$为直径的半圆面积：$S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{AB}{2})^2=\frac{1}{2}π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{8}$。
可得$S_1 + S_2 = \frac{9π}{8}+2π=\frac{25π}{8}=S_3$。
阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_1 + S_2 + S_{△ ABC} - S_3$
$= S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
答：图中阴影部分的面积为$\boldsymbol{6}$。
12. 如图①，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，直线EF与$\odot O$相切于点C，$AD⊥ EF$，垂足为D.
(1) $∠ DAC$与$∠ BAC$相等吗？为什么？
(2) 将直线EF向上平移，交$\odot O$于点G，C(图②)，如果题中的其他条件不变，此时哪个角与$∠ DAC$相等？为什么？
(1) $∠ DAC$与$∠ BAC$相等吗？为什么？
(2) 将直线EF向上平移，交$\odot O$于点G，C(图②)，如果题中的其他条件不变，此时哪个角与$∠ DAC$相等？为什么？
答案：解：(1) $∠ DAC$与$∠ BAC$相等，理由如下：
连接$OC$，
∵ 直线$EF$与$\odot O$相切于点$C$，
∴ $OC⊥ EF$，
∵ $AD⊥ EF$，
∴ $OC// AD$，
∴ $∠ DAC = ∠ OCA$，
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ BAC = ∠ OCA$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$。
(2) $∠ BAG$与$∠ DAC$相等，理由如下：
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AGB = 90°$，
∴ $∠ B + ∠ BAG = 90°$，
∵ $AD⊥ EF$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$，
∵ 四边形$ABGC$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ACD = ∠ B$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAG$。
连接$OC$，
∵ 直线$EF$与$\odot O$相切于点$C$，
∴ $OC⊥ EF$，
∵ $AD⊥ EF$，
∴ $OC// AD$，
∴ $∠ DAC = ∠ OCA$，
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ BAC = ∠ OCA$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$。
(2) $∠ BAG$与$∠ DAC$相等，理由如下：
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AGB = 90°$，
∴ $∠ B + ∠ BAG = 90°$，
∵ $AD⊥ EF$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$，
∵ 四边形$ABGC$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ACD = ∠ B$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAG$。