1. 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，$∠ A=35°$，则$∠ B=$°。
答案：$\boldsymbol{55}$
解析：
解：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A + ∠ B = 90°$，
又$\because ∠ A = 35°$，
$\therefore ∠ B = 90° - 35° = 55°$。
最终
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A + ∠ B = 90°$，
又$\because ∠ A = 35°$，
$\therefore ∠ B = 90° - 35° = 55°$。
最终
2. 如图，P是半径为2的$\odot O$外一点，$PO=4$，PQ是$\odot O$的切线，切点为Q，则$PQ=$。
答案：$2\sqrt{3}$
解析：
解：连接OQ，
∵ PQ是⊙O的切线，
∴ OQ⊥PQ，即∠OQP=90°。
在Rt△OPQ中，OQ=2，PO=4，
由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{PO^2 - OQ^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
∵ PQ是⊙O的切线，
∴ OQ⊥PQ，即∠OQP=90°。
在Rt△OPQ中，OQ=2，PO=4，
由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{PO^2 - OQ^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D，E在$\odot O$上，则$∠ 1 + ∠ 2 =$ °。
答案：$\boldsymbol{90}$
解析：
解：连接OE。
根据圆周角定理，得$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ AOE$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BOE$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOE + ∠ BOE = 180°$，
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}(∠ AOE + ∠ BOE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
最终
根据圆周角定理，得$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ AOE$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BOE$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOE + ∠ BOE = 180°$，
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}(∠ AOE + ∠ BOE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
最终
4. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，且$OB// DC$，$OD// BC$，则$∠ BOD=$°。
答案：$\boldsymbol{120}$
解析：
解：
设∠BAD = x，
由圆周角定理得：∠BOD = 2∠BAD = 2x。
∵ OB//DC，OD//BC，
∴ 四边形OBCD是平行四边形，
∴ ∠BCD = ∠BOD = 2x。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
即 x + 2x = 180°，
解得x = 60°，
∴ ∠BOD = 2x = 120°。
设∠BAD = x，
由圆周角定理得：∠BOD = 2∠BAD = 2x。
∵ OB//DC，OD//BC，
∴ 四边形OBCD是平行四边形，
∴ ∠BCD = ∠BOD = 2x。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
即 x + 2x = 180°，
解得x = 60°，
∴ ∠BOD = 2x = 120°。
5. 如图，$\odot A,\odot B,\odot C$ 的半径都是 1，则图中阴影部分的面积为 .
答案：解：
∵ 三角形的三个内角和为$180°$，
∴ 三个圆内空白部分的扇形的圆心角之和为$180°$，
又∵ $\odot A,\odot B,\odot C$的半径都是1，
∴ 三个空白扇形的面积之和为 $\frac{180π × 1^2}{360} = \frac{π}{2}$，
三个圆的总面积为 $3× π × 1^2 = 3π$，
∴ 阴影部分的面积为 $3π - \frac{π}{2} = \frac{5π}{2}$。
$\frac{5π}{2}$
∵ 三角形的三个内角和为$180°$，
∴ 三个圆内空白部分的扇形的圆心角之和为$180°$，
又∵ $\odot A,\odot B,\odot C$的半径都是1，
∴ 三个空白扇形的面积之和为 $\frac{180π × 1^2}{360} = \frac{π}{2}$，
三个圆的总面积为 $3× π × 1^2 = 3π$，
∴ 阴影部分的面积为 $3π - \frac{π}{2} = \frac{5π}{2}$。
$\frac{5π}{2}$
6. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ OBC=α$，$∠ BAC=β$，则$α$与$β$之间的数量关系为。
答案：$\boldsymbol{α+β=90°}$
解析：
解：连接OC，
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OCB=∠OBC=α，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-2α，
由圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC，即 $β=\frac{1}{2}(180°-2α)$，
整理得：$α+β=90°$。
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OCB=∠OBC=α，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-2α，
由圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC，即 $β=\frac{1}{2}(180°-2α)$，
整理得：$α+β=90°$。