1. 用配方法解方程$2x^2 + 6x - 1 = 0$，变形后的结果正确的是（）
A.$(x+3)^2=10$
B.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
C.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
D.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{7}{4}$
A.$(x+3)^2=10$
B.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
C.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
D.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{7}{4}$
答案：C
解析：
将方程$2x^2 + 6x - 1 = 0$移项，得$2x^2 + 6x = 1$；两边同除以2，将二次项系数化为1，得$x^2 + 3x = \frac{1}{2}$；两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，左边配成完全平方式，得$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = \frac{1}{2} + \frac{9}{4}$，化简后得到$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{11}{4}$。
2. 在空格中填上适当的数：
(1) $2x^2 -16x + \_\_\_\_\_\_ = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $\frac{1}{2}x^2 +3x + \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{2}(x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3) $x^2 -2\sqrt{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4) $-3x^2 +6x + \_\_\_\_\_\_ = -3(x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1) $2x^2 -16x + \_\_\_\_\_\_ = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $\frac{1}{2}x^2 +3x + \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{2}(x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3) $x^2 -2\sqrt{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4) $-3x^2 +6x + \_\_\_\_\_\_ = -3(x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案：解：
(1) 对多项式提取二次项系数2，得$2x^2-16x=2(x^2-8x)$，
配方得$2(x^2-8x+16)=2(x-4)^2$，对应常数项为$2×16=32$，
故空格依次填$\boldsymbol{32}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) 对多项式提取二次项系数$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}x^2+3x=\frac{1}{2}(x^2+6x)$，
配方得$\frac{1}{2}(x^2+6x+9)=\frac{1}{2}(x+3)^2$，对应常数项为$\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$，
故空格依次填$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$，$\boldsymbol{3}$；
(3) 由完全平方公式，一次项系数一半的平方为$(-\sqrt{2})^2=2$，
得$x^2-2\sqrt{2}x+2=(x-\sqrt{2})^2$，
故空格依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\sqrt{2}}$；
(4) 对多项式提取二次项系数$-3$，得$-3x^2+6x=-3(x^2-2x)$，
配方得$-3(x^2-2x+1)=-3(x-1)^2$，对应常数项为$-3×1=-3$，
故空格依次填$\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$。
(1) 对多项式提取二次项系数2，得$2x^2-16x=2(x^2-8x)$，
配方得$2(x^2-8x+16)=2(x-4)^2$，对应常数项为$2×16=32$，
故空格依次填$\boldsymbol{32}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) 对多项式提取二次项系数$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}x^2+3x=\frac{1}{2}(x^2+6x)$，
配方得$\frac{1}{2}(x^2+6x+9)=\frac{1}{2}(x+3)^2$，对应常数项为$\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$，
故空格依次填$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$，$\boldsymbol{3}$；
(3) 由完全平方公式，一次项系数一半的平方为$(-\sqrt{2})^2=2$，
得$x^2-2\sqrt{2}x+2=(x-\sqrt{2})^2$，
故空格依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\sqrt{2}}$；
(4) 对多项式提取二次项系数$-3$，得$-3x^2+6x=-3(x^2-2x)$，
配方得$-3(x^2-2x+1)=-3(x-1)^2$，对应常数项为$-3×1=-3$，
故空格依次填$\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$。
3. 用配方法可将方程$2x^2 +12x =b$化为$2(x+c)^2=20$的形式，则$b=$，$c=$。
答案：$\boldsymbol{b=2}$，$\boldsymbol{c=3}$
解析：
解：
对原方程$2x^2 + 12x = b$左边提取二次项系数2，得：
$2(x^2 + 6x) = b$
括号内配方，加上一次项系数一半的平方$3^2=9$：
$2(x^2 + 6x + 9) = b + 18$
整理得：
$2(x+3)^2 = b + 18$
对比形式$2(x+c)^2=20$，可得：
$c=3$，$b+18=20$
解得$b=2$，$c=3$。
最终
对原方程$2x^2 + 12x = b$左边提取二次项系数2，得：
$2(x^2 + 6x) = b$
括号内配方，加上一次项系数一半的平方$3^2=9$：
$2(x^2 + 6x + 9) = b + 18$
整理得：
$2(x+3)^2 = b + 18$
对比形式$2(x+c)^2=20$，可得：
$c=3$，$b+18=20$
解得$b=2$，$c=3$。
最终
4. 将方程$-\dfrac{1}{3}x^2 +4x -1=0$变形成$a(x+h)^2=k$的形式为（）
A.$\dfrac{1}{3}(x+6)^2=11$
B.$\dfrac{1}{3}(x-6)^2=11$
C.$-\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{23}{27}$
D.$-\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{23}{27}$
A.$\dfrac{1}{3}(x+6)^2=11$
B.$\dfrac{1}{3}(x-6)^2=11$
C.$-\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{23}{27}$
D.$-\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{23}{27}$
答案：B
解析：
先对原方程移项，得$-\dfrac{1}{3}x^2 +4x =1$，两边同乘$-3$，得$x^2 -12x = -3$，配方，在等式两边同时加$36$，得$x^2 -12x +36 = -3 +36$，即$(x-6)^2=33$，两边同乘$\dfrac{1}{3}$，变形为$\dfrac{1}{3}(x-6)^2=11$。
5. 解下列方程：
(1) $2x^2 -4x=0$；
(2) $-3x^2 +12x -12=0$；
(3) $3x^2 -x -2=0$；
(4) $4x^2 -6x -7=0$；
(5) $-\frac{1}{2}x^2 -4x=1$；
(6) $3x^2 +5=9x$。
(1) $2x^2 -4x=0$；
(2) $-3x^2 +12x -12=0$；
(3) $3x^2 -x -2=0$；
(4) $4x^2 -6x -7=0$；
(5) $-\frac{1}{2}x^2 -4x=1$；
(6) $3x^2 +5=9x$。
答案：解：
(1) 方程两边同时除以2，得
$x^2 - 2x = 0$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = 1$，
即$(x-1)^2 = 1$
开平方，得$x-1 = \pm1$
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 方程两边同时除以$-3$，得
$x^2 - 4x + 4 = 0$
配方，得$(x-2)^2 = 0$
开平方，得$x-2=0$
解得$x_1=x_2=2$。
(3) 方程两边同时除以3，得
$x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得$x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}$
配方，得$x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{2}{3} + (\frac{1}{6})^2$，
即$(x-\frac{1}{6})^2 = \frac{25}{36}$
开平方，得$x-\frac{1}{6} = \pm\frac{5}{6}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(4) 方程两边同时除以4，得
$x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{7}{4} = 0$
移项，得$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{7}{4}$
配方，得$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = \frac{7}{4} + (\frac{3}{4})^2$，
即$(x-\frac{3}{4})^2 = \frac{37}{16}$
开平方，得$x-\frac{3}{4} = \pm\frac{\sqrt{37}}{4}$
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{37}}{4}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{37}}{4}$。
(5) 方程两边同时乘以$-2$，得
$x^2 + 8x = -2$
配方，得$x^2 + 8x + 16 = -2 + 16$，
即$(x+4)^2 = 14$
开平方，得$x+4 = \pm\sqrt{14}$
解得$x_1=-4+\sqrt{14}$，$x_2=-4-\sqrt{14}$。
(6) 移项，得$3x^2 -9x = -5$
方程两边同时除以3，得
$x^2 - 3x = -\frac{5}{3}$
配方，得$x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{3} + (\frac{3}{2})^2$，
即$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{12}$
开平方，得$x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{21}}{6}$
解得$x_1=\frac{9+\sqrt{21}}{6}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$。
(1) 方程两边同时除以2，得
$x^2 - 2x = 0$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = 1$，
即$(x-1)^2 = 1$
开平方，得$x-1 = \pm1$
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 方程两边同时除以$-3$，得
$x^2 - 4x + 4 = 0$
配方，得$(x-2)^2 = 0$
开平方，得$x-2=0$
解得$x_1=x_2=2$。
(3) 方程两边同时除以3，得
$x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得$x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}$
配方，得$x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{2}{3} + (\frac{1}{6})^2$，
即$(x-\frac{1}{6})^2 = \frac{25}{36}$
开平方，得$x-\frac{1}{6} = \pm\frac{5}{6}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(4) 方程两边同时除以4，得
$x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{7}{4} = 0$
移项，得$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{7}{4}$
配方，得$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = \frac{7}{4} + (\frac{3}{4})^2$，
即$(x-\frac{3}{4})^2 = \frac{37}{16}$
开平方，得$x-\frac{3}{4} = \pm\frac{\sqrt{37}}{4}$
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{37}}{4}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{37}}{4}$。
(5) 方程两边同时乘以$-2$，得
$x^2 + 8x = -2$
配方，得$x^2 + 8x + 16 = -2 + 16$，
即$(x+4)^2 = 14$
开平方，得$x+4 = \pm\sqrt{14}$
解得$x_1=-4+\sqrt{14}$，$x_2=-4-\sqrt{14}$。
(6) 移项，得$3x^2 -9x = -5$
方程两边同时除以3，得
$x^2 - 3x = -\frac{5}{3}$
配方，得$x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{3} + (\frac{3}{2})^2$，
即$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{12}$
开平方，得$x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{21}}{6}$
解得$x_1=\frac{9+\sqrt{21}}{6}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$。