答案：解：
连接OB。
∵ PB是⊙O的切线，
∴ OB⊥PC，即∠OBC=90°。
在Rt△OBC中，OB=3，BC=4，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ $AC=AO+OC=3+5=8$。
∵ PA，PB是⊙O的切线，
∴ $PA=PB$，且$PA⊥AC$，即∠PAC=90°。
设$PA=x$，则$PB=x$，$PC=PB+BC=x+4$。
在Rt△PAC中，由勾股定理得：
$PA^2 + AC^2 = PC^2$
即$x^2 + 8^2 = (x+4)^2$
展开得$x^2 + 64 = x^2 + 8x + 16$
解得$x=6$。
∴ 切线PA的长为6。

答案：解：
(1) $BE$与$△ DCE$的外接圆相切，理由如下：
取$CD$的中点$O$，连接$OE$。
$\because DE$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore DE⊥ AC$，即$∠ DEC=90°$，
$\therefore CD$是$△ DCE$外接圆的直径，点$O$为$△ DCE$外接圆的圆心，
$\therefore OE=OC$，
$\therefore ∠ OEC=∠ C=30°$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$E$是$AC$的中点，
$\therefore BE=EC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ EBC=∠ C=30°$，
$\therefore ∠ EOB=∠ OEC+∠ C=60°$，
$\therefore$ 在$△ BOE$中，$∠ BEO=180°-∠ EBO-∠ EOB=180°-30°-60°=90°$，
即$OE⊥ BE$。
又$\because OE$是$△ DCE$外接圆的半径，
$\therefore BE$与$△ DCE$的外接圆相切。
(2) 设$△ DCE$外接圆的半径为$r$，则$OE=OD=r$，
$\therefore OB=BD+OD=1+r$。
$\because ∠ BEO=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，由勾股定理得：
$BE^2 + OE^2 = OB^2$，
代入$BE=\sqrt{3}$，得：
$(\sqrt{3})^2 + r^2 = (1+r)^2$，
即$3 + r^2 = 1 + 2r + r^2$，
解得$r=1$，
$\therefore △ DCE$的外接圆的直径为$2r=2$。

答案：解：
(1) $AC=BD$，理由如下：
$\because ∠ AOB = ∠ COD = 90°$，
$\therefore ∠ AOC + ∠ COB = ∠ BOD + ∠ COB = 90°$，
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOD$。
又$\because OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore △ AOC ≌ △ BOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=BD$。
(2) 由$△ AOC ≌ △ BOD$，得$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，
因此阴影部分面积满足：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OAB} - S_{\mathrm{扇形}OCD}$。
由扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，$n=90°$，$OA=2$，代入已知$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3}{4}π$：
$\frac{90π · OA^2}{360} - \frac{90π · OC^2}{360} = \frac{3}{4}π$
将$OA=2$代入化简：
$π - \frac{π · OC^2}{4} = \frac{3}{4}π$
两边同除以$π$整理得：$1-\frac{OC^2}{4}=\frac{3}{4}$，
解得$OC^2=1$，由$OC＞0$得$OC=1$。
答：$OC$的长为1。