1. 第67届国际奥林匹克数学竞赛(IMO)于2026年7月在上海举行.中国队发挥出色,获得团体总分第一名,也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍.中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：
$ S^2 = \frac{1}{6}[(42-\overline{x})^2 + (42-\overline{x})^2 + (42-\overline{x})^2 + (36-\overline{x})^2 + (35-\overline{x})^2 + (35-\overline{x})^2]. $
根据以上信息,下列叙述中错误的是 （）
A.中国队共有6名同学参赛
B.众数是35
C.中位数是39
D.平均数是38.67
$ S^2 = \frac{1}{6}[(42-\overline{x})^2 + (42-\overline{x})^2 + (42-\overline{x})^2 + (36-\overline{x})^2 + (35-\overline{x})^2 + (35-\overline{x})^2]. $
根据以上信息,下列叙述中错误的是 （）
A.中国队共有6名同学参赛
B.众数是35
C.中位数是39
D.平均数是38.67
答案：B
解析：
由方差公式的分母为$\frac{1}{6}$，可知参赛成绩共6个，即中国队共有6名同学参赛，A正确；
从方差公式可得6名队员的成绩为：42，42，42，36，35，35，其中42出现次数最多，因此众数是42，B错误；
将成绩从小到大排序为：35，35，36，42，42，42，中位数为第3、4个数据的平均数，即$\frac{36+42}{2}=39$，C正确；
计算平均数$\overline{x}=\frac{42×3 + 36 + 35×2}{6}=\frac{232}{6}\approx38.67$，D正确。
综上错误的是B选项。
从方差公式可得6名队员的成绩为：42，42，42，36，35，35，其中42出现次数最多，因此众数是42，B错误；
将成绩从小到大排序为：35，35，36，42，42，42，中位数为第3、4个数据的平均数，即$\frac{36+42}{2}=39$，C正确；
计算平均数$\overline{x}=\frac{42×3 + 36 + 35×2}{6}=\frac{232}{6}\approx38.67$，D正确。
综上错误的是B选项。
2. 已知甲、乙两队员的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为$s^2_甲$，$s^2_乙$，则$s^2_甲$ $s^2_乙$.（填“＞”“=”或“＜”）
答案：$＞$
解析：
解：
计算甲射击成绩的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{6×1 + 7×3 + 8×2 + 9×3 + 10×1}{1+3+2+3+1} = 8$
甲的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(6-8)^2×1 + (7-8)^2×3 + (8-8)^2×2 + (9-8)^2×3 + (10-8)^2×1] = 1.4$
计算乙射击成绩的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{6×1 + 7×2 + 8×4 + 9×2 + 10×1}{1+2+4+2+1} = 8$
乙的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[(6-8)^2×1 + (7-8)^2×2 + (8-8)^2×4 + (9-8)^2×2 + (10-8)^2×1] = 1.2$
可得$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
计算甲射击成绩的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{6×1 + 7×3 + 8×2 + 9×3 + 10×1}{1+3+2+3+1} = 8$
甲的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(6-8)^2×1 + (7-8)^2×3 + (8-8)^2×2 + (9-8)^2×3 + (10-8)^2×1] = 1.4$
计算乙射击成绩的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{6×1 + 7×2 + 8×4 + 9×2 + 10×1}{1+2+4+2+1} = 8$
乙的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[(6-8)^2×1 + (7-8)^2×2 + (8-8)^2×4 + (9-8)^2×2 + (10-8)^2×1] = 1.2$
可得$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
3. 甲、乙两位同学参加5次诗词选拔赛的成绩统计如下表，他们5次考试的总成绩相同(单位:分)。
(1) 小颖计算了甲同学成绩的平均数为60分，方差为200，请求乙同学成绩的平均数和方差。
098
(2) 甲、乙两位同学谁的成绩更稳定？
(3) 现进行了第6次比赛，甲、乙的成绩都是70，甲、乙成绩的离差平方和分别变大还是变小？
(1) 小颖计算了甲同学成绩的平均数为60分，方差为200，请求乙同学成绩的平均数和方差。
098
(2) 甲、乙两位同学谁的成绩更稳定？
(3) 现进行了第6次比赛，甲、乙的成绩都是70，甲、乙成绩的离差平方和分别变大还是变小？
答案：解：
(1) 甲5次考试的总成绩为 $5×60=300$ 分，
由题意可知乙的总成绩也为300分，因此：
$70+50+70+a+70=300$，
解得 $a=40$。
乙同学成绩的平均数为：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{5}×300=60$（分）
乙同学成绩的方差为：
$s_乙^2=\frac{1}{5}[(70-60)^2+(50-60)^2+(70-60)^2+(40-60)^2+(70-60)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+100+100+400+100)=160$。
(2) 已知 $s_甲^2=200$，$s_乙^2=160$，$200＞160$，方差越小成绩越稳定，
因此乙同学的成绩更稳定。
(3) 甲原来5次成绩的离差平方和为 $5×200=1000$，加入第6次成绩70后，6次成绩的平均数为 $\frac{300+70}{6}=\frac{370}{6}$，新的离差平方和为 $\frac{3250}{3}\approx1083.3＞1000$，甲的离差平方和变大；
乙原来5次成绩的离差平方和为 $5×160=800$，加入第6次成绩70后，新的离差平方和为 $\frac{2650}{3}\approx883.3＞800$，乙的离差平方和也变大。
答：(1) 乙同学成绩的平均数为60分，方差为160；(2) 乙同学的成绩更稳定；(3) 甲、乙成绩的离差平方和都变大。
(1) 甲5次考试的总成绩为 $5×60=300$ 分，
由题意可知乙的总成绩也为300分，因此：
$70+50+70+a+70=300$，
解得 $a=40$。
乙同学成绩的平均数为：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{5}×300=60$（分）
乙同学成绩的方差为：
$s_乙^2=\frac{1}{5}[(70-60)^2+(50-60)^2+(70-60)^2+(40-60)^2+(70-60)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+100+100+400+100)=160$。
(2) 已知 $s_甲^2=200$，$s_乙^2=160$，$200＞160$，方差越小成绩越稳定，
因此乙同学的成绩更稳定。
(3) 甲原来5次成绩的离差平方和为 $5×200=1000$，加入第6次成绩70后，6次成绩的平均数为 $\frac{300+70}{6}=\frac{370}{6}$，新的离差平方和为 $\frac{3250}{3}\approx1083.3＞1000$，甲的离差平方和变大；
乙原来5次成绩的离差平方和为 $5×160=800$，加入第6次成绩70后，新的离差平方和为 $\frac{2650}{3}\approx883.3＞800$，乙的离差平方和也变大。
答：(1) 乙同学成绩的平均数为60分，方差为160；(2) 乙同学的成绩更稳定；(3) 甲、乙成绩的离差平方和都变大。